Exercícios Resolvidos de Modelagens com Fator Integrante

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Enunciado

Um tanque de 50 litros de capacidade contém inicialmente 10 litros de água. Quando

t   =   0 , adiciona-se ao tanque uma solução de salmoura com 1 g r   de sal por litro, á razão de

4 litros por minuto, enquanto a mistura escoa á razão de 2 litros por minuto. Determine:

  1. O tempo necessário para que ocorra o transbordamento

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema disse que temos um tanque com 50 L de capacidade inicialmente com 10 L . E que colocamos nele uma solução 4 L / m i n , então

d V d t = + 4

Mas essa solução escoa 2 L / m i n

d V s o l d t = - 2

Queremos saber em quanto tempo esse tanque vai transbordar

Mas como resolver isso?

Precisamos saber que a vazão de enchimento do tanque pode ser descrita por

d V d t = + 4 - 2

São todas as fontes e sumidouros que temos. E se integrarmos isso vamos ter a quantidade de solução no tanque!

Lembrando que

V 0 = 10 L

Beleza?

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar integrando

d V d t = 2

V = 2 t + C

Mas V 0 = 10

V = 2.0 + C = 10

C = 10

Assim o volume em função do tempo é

V t = 2 t + 10

Beleza?

Passo 3

Agora queremos saber quando o tanque vai transbordar, ou seja, quando atingir seu volume máximo

t = ? V = 50 L

Aí temos

50 = 2 t + 10

40 = 2 t

t = 20 m i n

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

20   m i n

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