Exercícios Resolvidos de Modelagens com Fator Integrante

Questão 2: Encontre a família de curvas no plano tal que em cada ponto, o coeficiente angular da reta tangente à curva, é a soma das coordenadas deste ponto. Encontre o membro da família que passa pela origem.

Passo 1

Primeiro precisamos modelar o nosso problema. Em seguida, devemos encontrar a equação da curva que passa pela origem onde x = 0 e y = 0 . Vamos nessa?

Pois, bem vamos começar modelando o nosso problema! Qual é o coeficiente angular da reta tangente a uma curva y x ? Sim! A derivada:

C o e f i c i e n t e   a n g u l a r = d y x d x = y '

Então, como pelo enunciado:

“... o coeficiente angular da reta tangente à curva, é a soma das coordenadas deste ponto...”.

Logo:

y ' = x + y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então veja que a modelagem nos gerou uma EDO de primeira ordem não homogênea:

y ' - y = x

A qual podemos resolver utilizando variação de parâmetros!

Nesse método, a solução é a soma da solução homogênea com a particular:

y = y h + y p

Passo 3

Nesse passo, vamos calcular a solução da parte homogênea:

y ' - y = 0

Ora, utilizando a equação característica:

r - 1 = 0       →

r = 1

Podemos falar que a solução dessa EDO é:

y h = C e r x = C e x

Passo 4

Agora vamos buscar a solução da particular:

y ' - y = x

Como a função depois da igualdade é f x = x , um polinômio de primeiro grau, devemos supor que a solução particular é também um polinômio de primeiro grau:

y p = A x + B

Beleza, então conhecemos a cara da solução particular. Falta encontrar quem são esses A e B aí. Podemos fazer isso, derivando uma vez e substituindo na EDO:

y p = A x + B         →

y p ' = A

Então:

y ' - y = x             →

A - A x + B = x   →

- A x + A - B = x

Logo, por igualdade de polinômios:

- A = 1       e       A - B = 0

Então:

A = - 1         e       B = - 1     →

y p = - x - 1

Passo 5

A solução da EDO e, portanto da família de curvas que satisfazem o problema é então:

y = y h + y p   →

y = C e x - x - 1

Para encontrar o membro da família que passa pela origem, como já comentamos, basta substituir x = 0 e y = 0 ...

0 = C e 0 - 0 - 1     →

C = 1

Então essa curva é...

y = e x - x - 1

Resposta

y = C e x - x - 1         e

y = e x - x - 1

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