Exercícios Resolvidos de Modelagens com Fator Integrante

Fator Integrante

Um tanque contém 50 litros de água pura. Água salgada contendo 0,5   k g de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 4 litros por minuto. A solução bem misturada é bombeada para fora do tanque na taxa de 2 litros por minuto. Calcule qual a quantidade de sal após 5 minutos.

Passo 1

Vamos fazer um esquema pra deixar tudo que o enunciado deu bem claro na nossa cabeça:

Pra facilitar, podemos também chamar a quantidade de sal no tanque após t minutos de Q ( t ) . Ou seja, temos que achar Q ( 5 ) .

Beleza? Então vamos continuar!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra achar Q ( 5 ) , vamos precisa da taxa de variação da quantidade de sal no tanque em função do tempo d Q d t . E essa taxa de variação nada mais é que a taxa de entrada t e menos a taxa de saída t s !

d Q d t = t e - t s

Então vamos achar as taxas de entrada e de saída!

Passo 3

A taxa de entrada vai ser tranquila de achar!

O fluxo de entrada de água salgada é 4 L / m i n e tem 0,5   k g   de sal por litro. Então a taxa de entrada de sal é

t e = ( 4 L / m i n ) . ( 0,5   k g / L ) = 2   k g / m i n

Passo 4

Agora temos que tomar cuidado!

Enquanto a taxa de entrada de sal é fixa, a de saída depende do volume de água no tanque! E esse volume varia com o tempo, então podemos chamá-lo de V ( t ) .

Sabemos que V 0 = 50 e que a cada minuto entram 4 litros de água e saem 2 . Então, em relação ao volume, é como se entrassem 4 - 2 = 2 L / m i n .

Ou seja, o volume é 50 L + 2 L / m i n . Escrevendo isso em função de t :

V t = 50 + 2 t L / m i n

Passo 5

Beleza, agora podemos calcular a taxa de saída t s de sal no tanque!

O fluxo de saída de água salgada é 2 L / m i n . E a concentração de sal nessa água é a quantidade de sal dividida pelo volume de água, certo? Então a taxa de saída de sal é essa concentração vezes o fluxo de saída! Ou seja:

t s = Q t V t ∙ 2

Observação: um macete bom é pensar nas unidades: Q ( t ) em k g , V ( t ) em L e o fluxo de saída em L / m i n . Os L vão “cortar” e só vai sobrar k g / m i n !

k g L ∙ L m i n = k g / m i n

Enfim, como V t = 50 + 2 t temos

t s = 2 . Q t 50 + 2 t = Q ( t ) 25 + t

Passo 6

Show! Agora podemos achar a taxa de variação da quantidade de sal no tanque:

d Q d t = t e - t s

⇒   d Q d t = 2 - Q ( t ) 25 + t

Passo 7

Vamos cair numa EDO linear de 1ª ordem:

d Q d t + Q ( t ) 25 + t = 2

⇒   Q ' t + 1 25 + t Q t = 2

A equação está na forma

Q ' t + A t . Q t = B t

com A t = 1 25 + t e B t = 2 .

Então vamos usar o fator integrante! Primeiro vamos calcular a integral

∫ A t d t

sem adicionar constante:

∫ 1 25 + t d t = ln ⁡ 25 + t

Então o nosso fator integrante é

I t = e ∫ A t d t = e ln ⁡ 25 + t = 25 + t

Passo 8

Agora vamos calcular a integral

∫ I t . B ( t ) d t

também sem adicionar constante:

∫ 25 + t . 2 d t = 2 ∫ 25 d t + ∫ t d t

= 2 25 t + t 2 2 = 50 t + t ²

Agora podemos encontrar a solução

Q t = 1 I t ∫ I t . B t d t + C

C sendo uma constante qualquer:

Q t = 50 t + t ² + C 25 + t

Passo 9

Pra determinar C , vamos usar o fato que inicialmente não tem sal no tanque, ou seja Q 0 = 0 :

Q 0 = 0 + 0 + C 25 + 0 = 0     ⇒     C = 0

Ótimo! Então

Q t = 50 t + t ² 25 + t

Passo 10

E isso tudo foi pra achar a quantidade de sal após 5 minutos:

Q 5 = 250 + 25 25 + 5 = 275 30 = 5.55 5.6 = 55 6 k g

Resposta

55 6   k g

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