Exercícios Resolvidos de Modelagens com Fator Integrante

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Enunciado

Resolva o problema de valor inicial

y ' - 2 y = e 2 t

y ( 0 ) = 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Calc1. Nosso objetivo é calcular a solução do problema do valor inicial

y ' - 2 y = e 2 t

y ( 0 ) = 2

Vamos lembrar como fazemos. A solução geral de um equação diferencial da forma

y ' + p ( t ) y = q ( t )

é dada por

y ( t ) = ∫ u ( t ) q ( t ) d t + C u ( t )

Onde u ( x ) é o chamado fator integrante e é definido como:

u ( t ) = e ∫ p ( t ) d t

Passo 2

Nossa equação é

y ' - 2 y = e 2 t

y ( 0 ) = 2

Então, temos que

p ( t ) =   - 2

q ( t ) =   e 2 t

Logo

u ( t ) = e ∫ p ( t ) d t

= e ∫ - 2 d t

= e - 2 t

Passo 3

Agora, vamos calcular

∫ u ( t ) q ( t ) d t

= ∫ e 2 t e - 2 t d t

= t

Logo, nossa solução geral é:

y ( t ) = t + C e - 2 t

Passo 4

Agora, vamos resolver o problema de valor inicial, temos que

y ( 0 ) = 2

Logo:

y ( 0 ) = C 1 = 2

⇒ C = 2

Ou seja, a solução do PVI é

y ( t ) = t + 2 e - 2 t

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

y ( t ) = t + 2 e - 2 t

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