Exercícios Resolvidos de Modelagens com Fator Integrante

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Enunciado

Um tanque contém inicialmente 100 litros de água. Derrama-se no tanque água contendo

100   g r de s a l / L , numa razão de 2 L / m i n . A mistura é mantida homogênea e escoa-se na

mesma razão. Depois de 10   m i n . o processo é interrompido e derrama-se água pura no

tanque à razão de 2 l / m i n , escoando-se a mistura ainda na mesma razão. Ache a quantidade de sal no tanque depois de 20   m i n (a partir d e   t = 0 ).

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! A equação que precisamos resolver é a de entrada e saída de sal

d Q d t = T a x a   d e   e n t r a d a - T a x a   d e   s a í d a

Mas como resolver?

A taxa de entrada pode ser escrita como o produto da concentração do volume que entra γ com a vazão de água que entra r e

γ r e

E a saída como a vazão que sai r s vezes a concentração Q / V no volume do tanque

r s Q V

Aí temos r e = r s = r

d Q d t = γ r - r Q V

d Q γ r - r Q V = d t

Integrando e isolando Q temos

Q = γ V - C e - r t V r

E simplificando

Q = γ V + C e - r t V

Beleza?

E depois? Depois precisamos aplicar para o problema que temos! Com as condições iniciais! Após isso vamos poder encontrar os valores que o problema pede!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar aplicando as condições iniciais

V = 100 L

γ = 100   g r / L

r = 2   L / m i n

E sabemos que

Q 0 = 0

Beleza?

C

Q = γ V + C e - r t V

0 = 100.100 + C e 0

C = - 10 4

E nossa equação fica

Q = 100.100 - 10 4 e - t 50

Q = 10 4 ( 1 - e - t 50 )

E depois de 10 minutos a concentração é de

Q = 10 4 1 - e - 1 5

Beleza?

Passo 3

Agora vamos para a segunda parte! Depois desses minutos iniciais, é derramado água limpa (com γ = 0 ) e se deixa por mais 10 min. Assim precisamos montar novamente nossa equação para achar a função que descreve

Q = γ V + C e - r t V

Com γ = 0 e agora Q 0 = 10 4 1 - e - 1 5 , temos

10 4 1 - e - 1 5 = 0.100 + C e 0

C = 10 4 1 - e - 1 5

E nossa função fica com γ = 0 .   r = 2 ,   V = 100

Q = 10 4 1 - e - 1 5 . e - t 50

E ao final de mais 10   minutos teremos a quantidade que o problema pede

Q 10 = 10 4 1 - e - 1 5 . e - 1 5

Assim, passados 20 minutos teremos

10 4 1 - e - 1 5 . e - 1 5

De sal

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

10 4 1 - e - 1 5 . e - 1 5

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