Exercícios Resolvidos de Modelagens com Fator Integrante

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Enunciado

Considere o Problema de Valor Inicial (PVI)

y   ln ⁡ y + 2 x e x 2 + x d y d x = 0 ,   y 0 = 1

  1. Encontre a solução do PVI, dada de forma implícita.

Passo 1

Opa! Sabemos que essa EDO não é exata, beleza? O que a gente vai fazer agora é multiplicar essa equação pelo fator integrante u y = 1 y (que a gente calculou no item a dessa questão) e tornar essa equação exata.

Multiplicando a EDO pelo fator integrante y , temos:

  ln ⁡ y + 2 x e x 2 d x + x y   d y = 0

Que é uma EDO exata agora! Para resolver essa EDO primeiro vamos usar que ela tem essa cara

M x , y d x + N x , y d y = 0

Onde temos, agora

M x , y =   ln ⁡ y + 2 x e x 2 N x , y = x y

E sabemos que em uma equação exata, a solução é dada por u x , y = c onde u x , y a gente vai ter que usar uma técnica aqui para encontrar e c a gente encontra pelo valor inicial que o problema nos deu y 0 = 1 . Vamos lá!

Passo 2

Para encontrar u ( x , y ) a gente primeiro integra o nosso M x , y em relação a x

∫ M d x = ∫ ( ln ⁡ y + 2 x e x 2 ) d x

Separando em duas integrais

∫ l n y   d x + ∫ 2 x   e x 2 d x

A primeira dessas integrais a gente trata aquele l n y como constante e a segunda a gente observa que 2 x é a derivada de x 2 e usa o método da substituição simples. Fazendo isso nós temos

∫ M d x = x ln ⁡ y + e x 2  

Neste passo a gente tem que acrescentar uma constante de integração que pode depender de y . Então temos

∫ M d x = x ln ⁡ y + e x 2 + g ( y )

Passo 3

Para a gente encontrar esse g ( y ) a gente deriva o resultado anterior em relação a y e iguala a N ( x , y ) . Derivando o que a gente encontrou temos

d d y x ln ⁡ y + e x 2 + g y = x y + g ' ( y )

Como isso tem que ser igual ao nosso N x , y , temos

N x , y = x y + g ' ( y ) Como N x , y = x / y vemos que g ' y = 0 . Para encontrar o g y a gente integra esse resultado

g y = ∫ g ' y d y = ∫ 0 d y = 0

Com isso, temos por fim que

∫ M d x = x ln ⁡ y + e x 2 + g y = x ln ⁡ y + e x 2  

Passo 4

A função u ( x , y ) que a gente precisa encontrar é exatamente a integral que a gente já fez

u x , y = ∫ M x , y d x =   x ln ⁡ y + e x 2  

Como já falamos, a solução de uma EDO exata é dada por

u x , y = C

Ou seja:

x ln ⁡ y + e x 2 = C

Resta a gente encontrar o valor de C . Para isso, usamos que

y 0 = 1

Então, na nossa equação temos:

0 . ln ⁡ 1 + e 0 2 = C 1 = C

E finalmente temos a nossa equação solução da EDO: x ln ⁡ y + e x 2 = 1

Podemos manipular um pouco essa equação para obter uma expressão melhor passando a exponencial para o outro lado da igualdade

x ln ⁡ y = 1 - e x 2

ln ⁡ y = 1 - e x 2 x  

Exponenciando dos dois lados temos

e ln ⁡ y = e 1 - e x 2 x

Usando que e ln ⁡ y = y temos

y = e 1 - e x 2 x  

Vamos para a próxima?

Resposta

y x = e 1 - e x 2 x

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