Exercícios Resolvidos de Modelagens com Fator Integrante

Fator Integrante

Um tanque contém inicialmente 10 litros de água pura. Injeta-se no tanque uma solução clorada à taxa de 5 L / m i n , contendo 0,4 k g / L . A solução bem misturada é retirada do tanque à taxa de 3 L / m i n . A função Q ( t ) que representa a quantidade de cloro após t minutos é solução do problema com condição inicial:

(a) d Q d t = 2 - 3 Q 10 + 2 t   ,     Q 0 = 0

(b) d Q d t = 2 - 3 Q 10 + 2 t   ,     Q 0 = 10

(c) d Q d t = 20 - 3 Q 10 + 2 t   ,     Q 0 = 0

(d) d Q d t = 10 + 2 t - 3 Q   ,     Q 0 = 0

(e) d Q d t = 20 - 3 Q 10 + 5 t   ,     Q 0 = 10

Passo 1

Esse é um clássico problema de tanque! É sempre bom fazer um esquema pra visualizar melhor:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiramente, podemos notar que com t = 0 a água é pura, não há nenhum cloro.

Ou seja, Q 0 = 0 .

Show, já eliminamos 2 opções!

Agora precisamos achar d Q d t , a taxa de variação da quantidade de cloro no tanque em função do tempo. E a taxa de varição nada mais é do que quanto entra menos quanto sai, né?

d Q d t = t a x a   d e   v a r i a ç ã o = t a x a   d e   e n t r a d a - t a x a   d e   s a í d a

Passo 3

Vamos focar primeiro na taxa de entrada. Temos 5 L de água clorada entrando a cada minuto e com 0,4 k g de cloro em cada litro. Ou seja, temos 5 * 0,4   k g de cloro entrando por minuto:

t a x a   d e   e n t r a d a = 5 * 0,4 = 2 k g / m i n

Passo 4

Atenção! Enquanto a taxa de entrada não depende do volume de líquido no tanque, a taxa de saída depende! Então vamos achar o volume em função do tempo V ( t ) . Sabemos que

V 0 = 10 L

Mas depois começa a entrar água clorada de um lado e sair do outro: entram 5 L / m i n e saem 3 L / m i n . Ou seja, pro volume de líquido no tanque, é como se estivessem entrando 5 - 3 = 2 L / m i n de água clorada! Temos 10 L iniciais mais 2 L a cada minuto!

Então o volume é

V t = 10 + 2 t L

Passo 5

Beleza, agora podemos calcular a taxa de saída de cloro no tanque!

O fluxo de saída de água clorada é 3 L / m i n . E a concentração de cloro nessa água é a quantidade de cloro dividida pelo volume de água, certo? Então a taxa de saída de cloro é essa concentração vezes o fluxo de saída! Ou seja:

t a x a   d e   s a í d a = Q t V t ∙ 3

Observação: um macete bom é pensar nas unidades: Q ( t ) em k g , V ( t ) em L e o fluxo de saída em L / m i n . Os L vão “cortar” e só vai sobrar k g / m i n !

k g L ∙ L m i n = k g / m i n

Enfim, como V t = 10 + 2 t temos

t a x a   d e   s a í d a = 3 . Q t 10 + 2 t

Concluindo:

d Q d t = t a x a   d e   e n t r a d a - t a x a   d e   s a í d a

⇒   d Q d t = 2 - 3 Q 10 + 2 t

Resposta

Alternativa (a)

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