Exercícios Resolvidos de Modelagens com Fator Integrante

UERJ, Cálculo 3, Lista 4 do professor Fernando Lopes, Questão 1

Um corpo se move através de um fluido viscoso sob ação de uma força resultante F - K η v , onde K depende da forma do corpo, v é a velocidade do corpo e η é o coeficiente de viscosidade. Obter a velocidade como função do tempo. Suponha que o movimento seja retilíneo, que a força aplicada seja constante e que v 0 = v 0

Passo 1

Po beleza, ele disse que força resultante é: F - K η v , mas sabemos da física que:

∑ F = m a = m d v d t

Assim:

m d v d t = F - K η v

Logo:

m d v d t + K η v = F

Dividindo tudo por m :

d v d t + K η m v = F m

Opa, é uma EDO linear de ordem 1, né não?!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Partiu resolver:

d v d t + K η m v = F m

Comparando lá com a nossa EDO habitual

d v d t + p t v = g ( t )

Vamos ter

p t = K η m

g t = F m

Passo 3

Vou chamar o que a gente chamava de v de I , porque nesse exercício v é a velocidade

Calcular I x = e ∫ p x d x

∫ p t   d t = K η m t

I t = e ∫ p t d t = e K η m t

Passo 4

Agora vamos calcular esse termo aqui

∫ I t ⋅ g t d t

∫ e K η m t ⋅ F m d t = F K η e K η m t

Passo 5

Encontrar a solução:

v t = 1 I t ∫ I t ⋅ g t d t + C

v t = 1 e K η m t F K η e K η m t + C

v t = F K η + C e - K η m t

Passo 6

Agora, vamos substituir o valor inicial que ele nos deu

Então partiu:

v 0 = v 0 = F K η + c e 0 = F K η + c

Daí temos que:

c = v 0 - F K η

Então a resposta fica:

v t = F K η + v 0 - F K η e - K η m t

Resposta

v t = F K η + v 0 - F K η e - K η m t

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