Exercícios Resolvidos de Modelagens com Fator Integrante

Equações Separáveis, Fator Integrante

Um tanque contém 100 L de água. Uma solução com concentração salina de 0,5 K g / L é adicionada à taxa de 6 L / m i n   . A solução é mantida misturada e é retirada do tanque na taxa de 3 L / m i n . Se y t é a quantidade de sal (em quilogramas) após t   minutos, qual é a equação diferencial que modela essa mistura?

a) y ' t = 3 - 3 y t 100 + 3 t K g / m i n  

b)   y ' t = 3 - 3 y t 100 - t K g / m i n  

c)   y ' t = 3 - y t 100 - 3 t K g / m i n

d)   y ' t = 3 y t 100 - 3 t K g / m i n

e)   y ' t = 3 - 100 y t K g / m i n

Passo 1

A missão aqui é modelar a quantidade de sal em função do tempo, certo? Temos agua com sal entrando numa certa taxa, e agua com sal saindo em outra taxa. Assim, a taxa de variação de sal da mistura do tanque é:

y ' t = y e ' t - y s ' t

Ou seja, se y t é a quantidade de sal em função do tempo, então a sua taxa de variação em função do tempo, y ' t , é a taxa de variação de entrada, y e ' t , menos a taxa de saída, y s ' t . Beleza?

Agora só precisamos descobrir qual é essa taxa de entrada e de saída!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pelo o que o enunciado nos diz, nosso tanque tem 100 litros inicialmente de agua pura. Ou seja,

V = 100 l

Mas, de repente, começa a entrar agua com sal! Assim, esse volume passa a variar em função do tempo. Como entram 6 litros por unidade de tempo (minutos), temos:

V t = 100 + 6 t l

E, enquanto entram esses 6 litros, saem 3 pelo outro lado do tanque. Portanto, o saldo, em função do tempo, para o volume de agua do tanque é:

V t = 100 + 3 t l

Show, volume já está equacionado!

Passo 3

Agora que sabemos qual é o volume de líquido em função do tempo, podemos definir a concentração observando a quantidade de sal! Pelo o que o enunciado fala, entram 6 litros de agua por minuto com 0,5 K g de sal. Assim, a quantidade de sal é:

y e ' t = 6 l / m i n × 0,5 K g / l = 3 K g / m i n

Essa taxa de entrada de sal não depende do volume do tanque! Mas...

Passo 4

a taxa de saída depende! Ela que vamos analisar agora. Pelo o que nos disseram, depois que esses 3 K g / m i n   entram e são misturados no volume de agua do tanque, temos um fluxo de saída de 3 l / m i n da mistura.

Essa mistura, então, é todo o sal que entrou até o instante t , ou seja y t , divididos pelo volume total do tanque neste mesmo instante, V t ! Assim, temos que a taxa de saída de sal é a concentração da mistura vezes o fluxo de saída:

y s ' t = y t K g V t l . 3 l / m i n  

Como V t = 100 + 3 t ,

y s ' t = 3 y t 100 + 3 t K g / m i n  

Passo 5

Fazendo agora y e ' t - y s ' t , teremos:

y ' t = 3 - 3 y t 100 + 3 t K g / m i n  

Resposta

Letra a

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