Exercícios Resolvidos de Primeira Lei da Termodinâmica

UFRJ – Física 2 2019.2 – Segunda Chamada – Questão 1

Uma certa quantidade de um gás ideal, com calor específico molar C v = 3 2 R , realiza o ciclo ilustrado no diagrama P - V da figura, onde a etapa B → C corresponde a um processo irreversível. Seja W T o trabalho total realizado. Determine o trabalho, o calor e a variação da energia interna:

  1. Para a etapa A → B ;
  2. Para a etapa C → A ;
  3. Para a etapa B → C ;
  4. Determine a eficiência de uma máquina de Carnot funcionando entre a menor e a maior temperaturas envolvidas neste ciclo.

Deixe suas respostas em termos de W T , de P 0 e de V 0 .

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

Letra (a):

O problema pede para calcularmos o trabalho, o calor e a variação de energia interna entre os estados A → B . Pelo gráfico dá pra ver que de A para B temos uma reta vertical, isso em um diagrama P × V indica uma transformação isovolumétrica! E o que sabemos sobre ela? Que o trabalho realizado é zero!

Daqui já tiramos a primeira quantidade:

W = 0

Agora vamos ver como fica a primeira lei quando temos uma transformação isométrica:

Δ U = Q - W = Q

Olha só! Aqui temos que a variação de energia interna é igual ao calor!

E sabemos como se calcula o calor à volume constante:

Q = n C v Δ T

O C v vale 3 2 R , e a variação de temperatura? Ela vai ser dada em termos das temperaturas dos estados:

Q = 3 2 R n ( T B - T A )

Xiiii! E agora? Como vamos achar essas temperaturas? Usando a equação fundamental ( P V = n R T ) de estado! Se olharmos para o gráfico, vamos ver que no estado A temos um valor de P 0 e V 0 para a pressão e o volume, então podemos achar a temperatura em A em função dessas quantidades:

P 0 V 0 = n R T A

T A = P 0 V 0 n R

Já para o estado B o volume é o mesmo, mas a pressão é triplicada, então a temperatura vai ser dada por:

T B = 3 P 0 V 0 n R

Agora é só substituir no calor! Vamos lá?

Q = 3 2 R n ( T B - T A )

Q = 3 2 n R 3 P 0 V 0 n R - P 0 V 0 n R

Podemos cancelar n R e achar por fim o calor:

Q = 3 2 2 P 0 V 0 = 3 P 0 V 0

E a variação da energia interna? É igual ao calor! Então entre os estados A e B temos:

W = 0

Q = Δ U = 3 P 0 V 0

Agora precisamos fazer a mesma análise para as outras transformações, borá lá? =D

Segura na minha mão e vamos!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra (b):

Pelo gráfico dá pra ver que de C para A temos uma reta horizontal, isso em um diagrama P × V indica uma transformação isobárica! E o que sabemos sobre ela? Que o calor a pressão constante é C p = C v + R ! Então temos que para esse gás C p = 5 2 R .

Agora podemos calcular o calor à pressão constante:

Q = n C p Δ T

O C p vale 5 2 R , e a variação de temperatura? Ela vai ser dada em termos das temperaturas dos estados:

Q = 5 2 R n ( T A - T C )

Usando de novo a equação fundamental ( P V = n R T ) de estado podemos achar as temperaturas! Se olharmos para o gráfico, vamos ver que no estado C temos um valor de P 0 e 2 V 0 para a pressão e o volume, então podemos achar a temperatura em C em função dessas quantidades:

P 0 2 V 0 = n R T C

T C = 2 P 0 V 0 n R

Já para o estado A já calculamos a temperatura no passo anterior, então vou resgatar de lá:

T A = P 0 V 0 n R

Agora é só substituir no calor! Vamos lá?

Q = 5 2 R n ( T A - T C )

Q = 5 2 n R P 0 V 0 n R - 2 P 0 V 0 n R

Podemos cancelar n R e achar por fim o calor:

Q = 5 2 - P 0 T 0 = - 5 2 P 0 V 0

E o trabalho? Bom, numa transformação isobárica o trabalho realizado é p Δ V , bem tranquilo de ser calculado:

W = P 0 V A - V C = P 0 ( V 0 - 2 V 0 )

W = - P 0 V 0

Ufa, quase lá! Agora com o calor e o trabalho, podemos jogar tudo isso na primeira lei e descobrir a variação de energia interna, saca só (CUIDA O SINAL DO TRABALHO!):

Δ U = Q - W

Δ U = - 5 2 P 0 T 0 - - P 0 V 0

Δ U = P 0 V 0 - 5 2 + 1   = - 3 2 P 0 V 0

Recapitulando: entre os estados C → A o trabalho, o calor e a variação de energia interna valem:

W = - P 0 V 0

Q = - 5 2 P 0 V 0

Δ U = - 3 2 P 0 V 0

Passo 3

Letra (c):

Agora vamos analisar o processo de B → C . No enunciado diz que é um processo irreversível, mas não sabemos mais nada sobre ele. Então calcular o trabalho por aí é um pouco complicado. Vamos pensar no processo como um todo. O trabalho total realizado é sempre a soma dos trabalhos de cada transformação, certo? E temos que o trabalho total é W T , então temos:

W T = W A → B + W C → A + W B → C

E já sabemos que W A → B é zero, pois se trata de uma transformação isométrica, e também sabemos que W C → A = - P 0 V 0 . Então vamos substituir esses valores e deixar o trabalho de B → C em termos do trabalho total e das quantidades P 0 e V 0 :

W T = 0 + - P 0 V 0 + W B → C

W B → C = W T + P 0 V 0

E é essa a resposta!

E quanto ao calor? Sabemos que em um ciclo, a variação de energia interna é zero, pois temos o retorno do sistema à temperatura inicial. Sendo assim, em um ciclo, todo calor é convertido em trabalho Q T = W T . E o calor total? Bom, ele é a soma dos calores envolvidos em cada transformação. Então com o mesmo espírito da resolução do trabalho de B → C , vou fazer de forma similar para o calor.

Vamos primeiro achar o calor total

Q T = Q A → B + Q B → C + Q C → A

Como já falei ali em cima, em um ciclo Q T = W T   , e os calores já foram calculados anteriormente, então vou resgatar os resultados e colocar ali em cima:

Q B → C = W T - 3 P 0 V 0 + 5 2 P 0 V 0

Q B → C = W T - 1 2 P 0 V 0

Por fim a variação de energia interna! Eu sempre a deixo por último porque daí é só jogar os resultados do calor e do trabalho na primeira lei! Só cuuuuida o sinal do trabalho!

Δ U = Q - W

Δ U = W T - 1 2 P 0 V 0 - W T + P 0 V 0

Aqui o valor do trabalho total some e teremos a resposta em termos da pressão e do volume iniciais:

Δ U = - 1 2 P 0 V 0 - P 0 V 0 = - 3 2 P 0 V 0

Recapitulando, entre os estados B e C os valores de calor, trabalho e variação de energia interna são:

Q = W T - 1 2 P 0 V 0

W = W T + P 0 V 0

Δ U = - 3 2 P 0 V 0

Passo 4

Letra (d):

Agora o problema pede o rendimento dessa máquina. A menor temperatura é no estado A e vale:

T A = P 0 V 0 n R

E a maior? É no estado B ! e essa temperatura vale:

T B = 3 P 0 V 0 n R

O rendimento e de uma máquina é:

e = 1 - T F T Q

e = 1 - P 0 V 0 n R 3 P 0 V 0 n R

e = 1 - 1 3 = 2 3 = 0,67

Assim o rendimento é 67 % .

Beleza?

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

a ) W = 0

Q = Δ U = 3 P 0 V 0

b ) W = - P 0 V 0

Q = - 5 2 P 0 V 0

Δ U = - 3 2 P 0 V 0

c ) Q = W T - 1 2 P 0 V 0

W = W T + P 0 V 0

Δ U = - 3 2 P 0 V 0

d )   67 %

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