Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Discretas

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Enunciado

Considere a distribuição conjunta de X e Y , parcialmente conhecida, dada pela tabela abaixo.

(a) Complete a tabela, considerando X e Y independentes.

(b) Calcule as médias e variâncias de X e Y .

(c) Calcule P ( X + Y = 1 | X Y = 0 ) .

Passo 1

a)

Sabemos que todos os elementos da mesma linha somados tem que dar a marginal ao fim da linha, e todos os elementos da mesma coluna somados devem dar a marginal ao fim da coluna. Vamos começar por aí mesmo!

Na terceira linha, quando P ( Y = 1 ) , podemos calcular a marginal fazendo: P Y = 1 = 1 4 + 1 4 = 2 4 = 1 2

Então:

Mas nós sabemos que as marginais de mesma linha somadas tem que dar 1 , assim como as marginais de mesma coluna. Então podemos descobrir o valor da marginal da primeira linha, para P ( Y = - 1 ) :

P ( Y = - 1 ) + 1 3 + 1 2 = 1 → P ( Y = - 1 ) = 1 6

Então:

Agora podemos descobrir o valor de P ( Y = - 1 , X = 1 ) , pois esse é o único valor em branco da linha:

1 12 + P Y = - 1 , X = 1 = 1 6 → P Y = - 1 , X = 1 = 1 12

Passo 2

E agora não tem mais nada pra resolver na soma de linhas e colunas, mas como as v.a.s são independentes, podemos contornar isso aí! Sabemos que para v.a.s independentes:

P X = x × P Y = y = P ( X = x , Y = y )

Vamos fazer isso aí para a nossa primeira probabilidade conjunta:

P X = - 1 , Y = - 1 = P ( Y = - 1 ) × P ( X = - 1 )

Substituindo pelos valores que já conhecemos, podemos achar o valor desconhecido P ( X = - 1 ) :

1 12 = 1 6 × P X = - 1 → P X = - 1 = 1 2

Agora podemos voltar a somar as linhas e as colunas:

1 2 + P X = 1 = 1 → P X = 1 = 1 2

1 12 + P X = - 1 , Y = 0 + 1 4 = 1 2 → P X = - 1 , Y = 0 = 1 6

1 12 + P X = 1 , Y = 0 + 1 4 = 1 2 → P X = 1 , Y = 0 = 1 6

Reparem que aqui poderíamos ter achado esses valores em diferentes ordens, ou até usando a propriedade das v.a.s independentes ao invés de somar as linhas e colunas.

Passo 3

b)

Primeiro a média de X , calculamos normalmente uma média unidimensional:

E X = ∑ x i p x i = - 1 × 1 2 + 1 × 1 2 = 0

Agora a de Y :

E Y = - 1 × 1 6 + 0 × 1 3 + 1 × 1 2 = 1 3

Agora a variância de X :

V a r X = ∑ x i ² p x i - E X 2 = - 1 2 × 1 2 + 1 2 × 1 2 - 0 ² = 1

E a de Y :

V a r Y = - 1 2 × 1 6 + 0 2 × 1 3 + 1 2 × 1 2 - 1 3 2 = 5 9

Passo 4

c)

Agora vamos pensar sobre P ( X + Y = 1 | X Y = 0 ) . Primeiro na P ( X + Y = 1 ) . Olhando os valores que X e Y podem assumir, vemos que a soma das duas só pode dar 1 quando Y = 0 e X = 1 . Então:

P X + Y = 1 = P ( X = 1 , Y = 0 )

Agora vamos ver quando X Y = 0 para descobrir o valor de P ( X Y = 0 ) . Reparem que o produto das variáveis só pode dar zero quando uma delas valer zero. Mas só o Y pode assumir valor zero! Então:

P X Y = 0 = P ( Y = 0 )

Vamos escrever nossa condicional aberta agora que sabemos os valores então:

P X + Y = 1 X Y = 0 = P ( X + Y = 1 ) ∩ P X Y = 0 P X Y = 0 = P ( X = 1 , Y = 0 ) ∩ P Y = 0 P Y = 0

Mas sabemos que P X = 1 , Y = 0 ∩ P Y = 0 = P ( X = 1 , Y = 0 ) , certo? É como se quisessmos a interseção de um conjunto dentro de outro, então a interseção tem que ser o menor desses conjuntos! Nossa condicional fica então:

P X + Y = 1 X Y = 0 = P ( X = 1 , Y = 0 ) P Y = 0

Substituindo os valores que temos na tabela:

P X + Y = 1 X Y = 0 = P ( X = 1 , Y = 0 ) P Y = 0 = 1 / 6 1 / 3 = 1 2

Resposta

a)

b)

E X = 0     ;     V a r X = 1

E Y = 1 3     ;     V a r Y = 5 9

c)

1 2

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