Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Discretas

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Enunciado

Dada a seguinte distribuição conjunta das variáveis aleatórias independentes M   e   T , com P M = 1   =   1 3

calcule a probabilidade P M = 1 , T = 3 :

Passo 1

Fala pessoal. Tudo beleza? Vamos para mais uma questão de probabilidade.

Nós temos a tabela contendo a distribuição conjunta de M   e   T .

Sabemos que P M = 1   =   1 3

E que M   e   T , são INDEPENDENTES.

Queremos calcular P M = 1 , T = 3 :

Passo 2

Essa questão tem uma pegadinha

Não precisamos calcular x ,   e   y . Na verdade, nem usamos essas informações. Eles estão alí só tirar o nosso foco. Vamos focar na propriedade da independência. Lembram-se dela? Vamos revisar

Duas variáveis X   e   Y são ditas independêntes se

P X = x ,   Y   =   y   =   P X = x P Y = y

Passo 3

Vamos revisar as informações que temos até agora.

Sabemos que P M = 1   =   1 3

Temos a distribuição conjunta

E M   e   T são independentes.

Vamos começar obtendo algumas probabilidades.

Como M     só pode assumir dois valores 1   ,   2 e tem-se que P M = 1   =   1 3 então:

P M = 2   =   1   -   P M = 1

= 2 3

Passo 4

Agora que obtemos P M = 2   =   2 3 . Vamos usar esse resultado para calcular P T = 3 . Como você acha que vamos fazer isso? Vamos pensar um pouco.

Bem sabemos da tabela de distribuição conjunta que

P M = 2 , T = 3   =   10 24

Mas M   e   T são independentes, então

P M = 2 P T = 3   =   10 24

⇒   2 3 P T = 3   =   10 24

⇒   P T = 3   =   5 8

Agora já temos todas as informações necessárias para calcular P M = 1 , T = 3

Passo 5

Agora vamos calcular a probabilidade de interesse!!

(por independência)

P M = 1 , T = 3   =   P M = 1 P T = 3

(substituindo pelos valores calculados nos passos anteriores)

  P M = 1 P T = 3   =   1 3 ⋅ 5 8

= 5 24

E com isso terminamos mais uma questão!!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão!! Bons estudos 😊 .

Resposta

5 24

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