Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Discretas

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Enunciado

Foi feito o loteamento de uma área rural em terrenos retangulares. Para cada terreno, seu comprimento e sua largura, ambos em metros, podem ser iguais a 10 m , 20 m ou 30 m . Para simplificar, vamos trabalhar em decâmetros (simbolicamente, d a m ), lembrando que 1   d a m = 10   m . Assim, tanto o comprimento X como a largura Y de um terreno sorteado ao acaso, podem ser iguais a 1, 2 ou 3. A tabela a seguir fornece (apenas parcialmente) a distribuição conjunta de X   e Y , variáveis aleatórias supostas independentes:

Considere as v.a.’s V = 2 X + 2 Y = perímetro do terreno e W = X Y = área do terreno (em d a m ² ).

Nessas condições, calcule:

(a) o valor de cada probabilidade, conjunta ou marginal, omitido na tabela acima.

(b) a probabilidade condicional de que a área seja igual a 4   d a m ² , dado que o perímetro é igual a 8   d a m .

(c) a média e a variância da área do terreno nesse loteamento.

Passo 1

a)

Para completar a tabela, temos que lembrar que essas variáveis são independentes, já que a largura e o comprimento podem assumir valores aleatórios sem terem relação entre si. Então:

P X = x , Y = y = P X = x . P ( Y = y )

P X = 2 , Y = 2 = 0,2 × 0,3 = 0,06

Se supormos que P X = 1 = a , pela relação de independência:

P X = 1 , Y = 2 = 0,3 a

Somando todos os elementos da linha X = 1 e igualando a marginal P ( X = 1 ) temos:

0 , 35 + 0,3 a + 0,14 = a → a = 0,7

Sabemos que a coluna das marginais de X tem que somar 1 , então:

P X = 3 + P X = 2 + P X = 1 = 1

P X = 3 + 0,2 + 0,7 = 1

P X = 3 = 0,1

Supondo agora que P Y = 1 = b , pela independência, temos que:

P X = 2 , Y = 1 = 0,2 b

Somando todos os elementos da linha Y = 1 e igualando a marginal P ( Y = 1 ) :

0,35 + 0,2 b + 0,05 = b → b = 0,50

Como sabemos que a coluna das marginais de Y também tem que somar 1:

P Y = 1 + P Y = 2 + P Y = 3 = 1

0,5 + 0,3 + P Y = 3 = 1

P Y = 3 = 0,2

Agora temos todas as marginais, e basta usarmos a relação de dependência entre elas para calcular o restante das probabilidades conjuntas:

Passo 2

b)

Queremos:

P W = 4 V = 8 = P ( W = 4 , V = 8 ) P ( V = 8 )

Substituindo as fórmulas das variáveis:

P W = 4 V = 8 = P ( 2 X + 2 Y = 8 ;     X Y = 4 ) P ( 2 X + 2 Y = 8 )

Agora temos que pensar, em que caso o perímetro é igual a 8 e a área é igual a 4 ? Resolvendo um sisteminha:

2 X + 2 Y = 8 X Y = 4 → X = Y = 2

E quais os casos que 2 X + 2 Y = 8 ?

2 X + 2 Y = 8 → X + Y = 4

Possíveis valores de X e Y :

X = 1 ,     Y = 3

ou

X = 2 ,     Y = 2

ou

X = 3 ,     Y = 1

Então nossa condicional fica:

P W = 4 V = 8 = P ( X = 2 , Y = 2 ) P X = 1 , Y = 3 + P X = 2 , Y = 2 + P ( X = 1 , Y = 3 )

= 0,06 0,14 + 0,06 + 0,05 = 0,24

Passo 3

c)

Agora queremos E X Y e V a r ( X Y ) . Para isso, precisamos calcular E X ,   E ( Y ) , E X 2 , E ( Y 2 ) . Temos que multiplicar cada probabilidade marginal pelos seus respectivos X e Y :

E X = 1 × 0,7 + 2 × 0,2 + 3 × 0,1 = 1,4   d a m

E Y = 1 × 0,5 + 2 × 0,3 + 3 × 0,2 = 1,7   d a m

E para o caso com as variáveis ao quadrado:

E X ² = 1 ² × 0,7 + 2 ² × 0,2 + 3 ² × 0,1 = 2,4   d a m ²

E Y ² = 1 ² × 0,5 + 2 ² × 0,3 + 3 ² × 0,2 = 3,5   d a m ²

Como as variáveis são independentes:

E X Y = E X E Y = 1,4 × 1,7 = 2,38   d a m ²

E a mesma independência existe quando elas estão ao quadrado, então:

E X 2 Y 2 = E X 2 E Y 2 = 2,4 × 3,5 = 8,4   d a m 4

E a variância é dada por:

V a r X Y = E X 2 Y 2 - E X Y 2

Substituindo os valores:

V a r X Y = 8,4 - 2,38 2 = 2,7356   d a m 4

Resposta

a)

b)

0,24

c)

E X Y = 2,38   d a m 2

V a r X Y = 2,7456   d a m ²

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