Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Discretas

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Enunciado

10) A tabela abaixo mostra a distribuição de probabilidade conjunta de duas variáveis discretas X   e   Y . Não foram mostrados os valores de a e b mas sabe-se que as duas variáveis são independentes.

Determine P ( X - Y = 4 ) .

a) 0,58

b) 0,7

c) 0,15

d) 0,23

e) 0,37

Passo 1

Faaaala pessoal, como vocês estão?

Aqui temos uma questão trabalhando o assunto de distribuição de probabilidade conjunta de variáveis aleatórias discretas. O nome é meio feio, mas vai dar certo gente, confia!

O enunciado nos mostra essa distribuição conjunta das variáveis X e Y , mas omite dois valores, que estão na tabela como a e b . O objetivo do exercício é determinarmos P ( X - Y = 4 ) .

Pensa comigo, os únicos pares que satisfazem X - Y = 4 são ( 5 ,   1 ) e ( 6 ,   2 ) . Daí, o que a gente quer é:

P X - Y = 4 = P 5 ,   1 + P ( 6 ,   2 )

Analisando a tabela, podemos escrever que:

P X - Y = 4 = 0,08 + b

Puts, precisamos determinar b . (que surpresa né? Haha)

E aqui é que mora o problema dessa questão: Como determinar b ?

Passo 2

Uma ideia muito válida, é pensar em somar todos os pares possíveis. Pois em uma distribuição conjunta também vale que a soma de todas as probabilidades vale 1. Assim:

∑ P X , Y = 1

Mas, não facilitaram nossa vida, porque não temos apenas a incógnita b , a também é uma incógnita. Daí, se usarmos essa equação da soma das probabilidades ainda não vamos conseguir determinar b .

Beleza então, e como é que a gente faz né? O segredo está justamente no final do enunciado, pois é falado que X e Y   são independentes.

Isso significa que:

P X = m ,   Y = n = P X = m ⋅ P ( Y = n )

Isso é muito bom galera, porque agora podemos montar várias equações com a nossa tabelinha do enunciado. Por exemplo:

b = P X = 6 ⋅ P ( Y = 2 )

Conseguimos “reduzir” nosso problema de determinar b a determinar P ( X = 6 ) e P ( Y = 2 ) .

Passo 3

Bora continuar usando essa ideia da independência de X e Y .

Já escrevemos no passo 2 que:

b = P X = 6 ⋅ P ( Y = 2 )

Podemos dizer também que:

P X = 6 ⋅ P Y = 1 = 0,12

Dividindo uma pela outra, vem que:

b 0,12 = P Y = 2 P Y = 1

Parece que a gente trocou seis por meia dúzia, mas na verdade foi uma boa ideia porque pela tabela dá pra determinar P Y = 2 P Y = 1 de uma vez só. Olha, sabemos que:

0,25 = P X = 4 ⋅ P ( Y = 2 )

0,2 = P X = 4 ⋅ P ( Y = 1 )

Top, dividindo uma pela outra, temos:

0,25 0,2 =   P Y = 2 P Y = 1

Prontinho! Agora é só substituir na expressão de b . Daí:

b 0,12 = 0,25 0,2

b = 0,15

Isso! Conseguimos determinar b . Então, agora é só correr pro abraço:

P X - Y = 4 = 0,08 + b = 0,08 + 0,15 = 0,23

Uhuul! Conseguimos matar mais uma questão. Agora pra ver se todo mundo aprendeu bem o assunto: Qual a probabilidade de a gente ir matar mais uma questão?

(P.S: o gabarito é 1.) 😉

Resposta

Letra D: 0,23 .

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