Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Discretas

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Enunciado

Duas variáveis aleatórias, X   e   Y , apresentam a distribuição conjunta de probabilidade dada na tabela a seguir.

Calcule E Y X = 1   e   E X Y = 1 .

Passo 1

Fala pessoal, Tudo certinho com vocês? Dessa vez temos uma questão envolvendo a esperança condicional.

Bem, queremos calcular E Y X = 1   e   E X Y = 1

E nos é fornecido a distribuição conjunta de X   e   Y . Como será que vamos começar essa questão? Vamos pensar um pouco.

Talvez seja interessante se calculássemos a distribuição de Y X   =   1   e   X Y   =   1 . Então vamos fazer isso.

Passo 2

Vamos começar calculando a distribuição de Y | X   =   1   , Ao olharmos a tabela vemos que se X   =   1 ,     então Y     só pode assumir o valor 1   , mas com que probabilidade isso ocorre? Isto é, quem é P Y   =   1 X   =   1   ?

Usando a definição de probabilidade condicional temos:

P Y = 1 X = 1 = P X = 1 , Y = 1 P X = 1

Onde P X = 1 dé a marginal de X   , que é dada por P X = x   =   ∑ y   P X = x , Y = y

Então

P X = 1   =   1 9

Ou seja,

P Y = 1 X = 1 = P X = 1 , Y = 1 P X = 1

= 1 9 1 9

= 1  

Então a variável Y | X   =   1     assume o valor 1   com probabilidade 1   . Logo sua esperança será:

E Y X   =   1     =   1   (variável é uma contante, logo sua esperaça é essa constante)

Passo 3

Agora só nos resta verificar a distribuição de   X | Y   =   1   e calcular   E X Y   =   1

A o olharmos a tabela, vemos que os possíveis valores de X   dado que Y   =   1   são 0   e   1

Vamos calcular com qual probabilidade esses valores ocorrem.

Usando a definição de probabilidade condicional usada no passo anterior. Tem-se que

P X = 1 Y = 1 = P X = 1 , Y = 1 P Y = 1

Onde P Y = 1 é marginal de Y   , que é dada por P Y = y   =   ∑ x   P X = x , Y = y

Então P Y = 1     =   ∑ x   P X = x , Y = 1

=   3 9   +   1 9

=   4 9

Dessa forma temos que

P X = 1 Y = 1 = P X = 1 , Y = 1 P Y = 1

= 1 9 4 9

= 1 4

Então a variável X | Y   =   1       assume os valores 1   e   0 com probabilidade 1 4   e   P X = 0 Y = 1

Mas pera ae, não vai calcular P X = 0 Y = 1 ? Não precisamos jovem.

Pois

E X Y = 1   =   0 ⋅ P X = 0 Y = 1   +   1 ⋅ P X = 1 Y = 1

= 1 4

Passo 4

Com isso obtemos que E Y X = 1   e   E X Y = 1 são, respectivamente, 1   e   1 4

Finalmente acabamos a questão, pessoal!!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão!! Bons estudos .

Resposta

1   e   1 4

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