Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Discretas

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Enunciado

Sejam X e Y duas v.a.’s discretas cuja função de probabilidade conjunta é expressa por:

f x , y = 1 k 1 4 x 2 3 y ,   p a r a   x = 3,4 , 5 , …       e       y = 3,4 , 5 , …

Determine a constante k para que f x , y seja uma função de probabilidade das variáveis aleatórias X e Y .

Passo 1

Bom, para que a função f x , y seja uma função de probabilidade, a soma das probabilidades das distribuições marginais deve ser igual a 1. Isto é,

∑ p x = ∑ p y = 1

Confuso né? E então, o que precisamos fazer?

Vamos começar assumindo que a nossa f é uma função de probabilidade conjunta. Agora que assumimos isto, vamos montar uma tabela para descrever os valores de nossa f . Mas calma, até qual valor de x e y iremos montar a tabela? Porque pelo enunciado da questão eles variam de 3 até infinito.....

E aí??????? Bom, vamos montar até o valor 5, depois vocês irão perceber que é desnecessário continuar.

Portanto, temos a seguinte tabela:

Vocês conseguem perceber que a cada vez que a gente aumenta o valor de x ou de y o denominador fica maior? Consequentemente, o número final fica cada vez menor. É por causa disso que podemos parar por aqui no cálculo.

Passo 2

Agora que calculamos o valor da probabilidade de cada uma das combinações de x e y para valores de x e y variando entre 3 ,   4 e 5 , o que precisamos fazer agora? A resposta para esta pergunta é: precisamos determinar dois parâmetros que a questão nos deu: as distribuições marginais y , p y e x , p x .

A ideia por trás da distribuição marginal é simples. Lembra que estamos com uma distribuição conjunta p x , y ? Então, imagina aí: o que aconteceria se a gente fixasse um determinado x e variasse o y ? Se somarmos todas essas probabilidades, obteríamos uma probabilidade p x deste nosso evento x acontecer.

Pronto, esta é uma ideia resumida da distribuição marginal. Mas sim, o que importa é como calcular. E como fazemos isto? Aí já é mais fácil ainda! É só nós somarmos as linhas (colocando o resultado final na última coluna a direita) e somarmos as colunas (colocando o resultado final na última linha abaixo).

Por fim, é basicamente acrescentar uma linha e uma coluna a tabela dada na questão. Portanto, temos:

E agora? O que devemos fazer? Eu digo a vocês que a chave para resolvermos a questão continua na tabela. Em especial, na última linha e última coluna. Mais especial ainda naquele belo número 1.

Para que a nossa f x , y seja uma função de probabilidade, significa que a soma das probabilidades das distribuições marginais (aquela última linha e última coluna), tem que dar igual ao número 1.

Vamos utilizar a identidade acima para calcularmos o valor de k . Portanto,

∑ p x = 152 15552 k + 152 62208 k + 152 248832 k = 3192 248832 k = 1

∑ p y = 168 27648 k + 336 82944 k + 672 248832 k = 3192 248832 k = 1

Então, basta descobrirmos qual o valor de k que satisfaz a seguinte relação:

3192 238832 k = 1

k = 3192 248832 ≈ 0,012828

Portanto, o valor aproximado de k que torna f x , y uma função de probabilidade de variáveis X e Y é aproximadamente 0,012828 .

Resposta

k ≈ 0,012828

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