Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Discretas

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Enunciado

15) Um shopping de São Paulo possui um supermercado e uma farmácia. Sejam as variáveis aleatórias X e Y , que representam o número de vezes que um cliente assíduo desse shopping faz compras no supermercado e na farmácia durante um mês, respectivamente. A distribuição de probabilidade conjunta está na tabela abaixo. O valor médio do número de vezes que um cliente faz compra no supermercado dado que comprou 3   vezes na farmácia vale:

A) 3

B) 11 / 4

C) 9 / 4

D) 7 / 2

E) 1

Passo 1

Faaaala galerinha, todo mundo animado pra matar mais uma questão de probabilidade?

Esse exercício traz uma distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias discretas X e Y . Basicamente, devemos determinar o valor esperado, ou média, de X   dado que Y = 3 .

Sei que vocês já estão ligados como calcular valor esperado de uma V.A discreta, é só fazer:

E X = ∑ x ⋅ P (   X = x )

Mas, e quando temos uma probabilidade condicionada a um valor fixo de Y , por exemplo. Como podemos calcular a esperança?

Então, nesse caso só precisamos adaptar um pouco a probabilidade na fórmula da esperança. Ficamos com:

E X | Y = 3 = ∑ x ⋅ P X Y = 3 )  

Massa! Então, bora atrás desses valores.

Passo 2

Pra começar, precisamos relembrar como calculamos probabilidade condicional:

P X = x Y = 3 ) = P X = x ,   Y = 3 P Y = 3

Pela tabela dada, na última coluna da direita, vale que:

P Y = 3 = P X = 1 ,   Y = 3 + P X = 2 ,   Y = 3 + P X = 4 ,   Y = 3

P Y = 3 = 0,05 + 0,10 + 0,05 = 0,20  

Assim, usando nossa expressão para a probabilidade condicional, temos que:

P X = 1 ,   Y = 3 = 0,05 0,20 = 0,25

P X = 2 ,   Y = 3 = 0,10 0,20 = 0,50

P X = 4 ,   Y = 3 = 0,05 0,20 = 0,25

Muito bom! Estamos quase lá.

Passo 3

Beleza, agora que já temos as probabilidades condicionais é só substituir na fórmula da esperança e correr pro abraço!

E X Y = 3 = 1 ⋅ P X = 1 ,   Y = 3 + 2 ⋅ P X = 2 ,   Y = 3 + 4 ⋅ P ( X = 4 ,   Y = 3 )  

⇒ E X Y = 3 = 1 ⋅ 0,25 + 2 ⋅ 0,50 + 4 ⋅ 0,25

E X Y = 3 = 2,25 = 9 4

Prontinho 😊

Espero que vocês tenham entendido bem, até a próxima 😉

Resposta

Letra C: 9 / 4

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