Exercícios Resolvidos de Regime Transitório, Permanente e Ressonância

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Enunciado

Um bloco de 2 Kg está suspenso por uma mola e oscila verticalmente. Seu movimento é descrito pela equação y ¨   +   b y ˙ +   c y   =   0 . Observa-se que a amplitude do movimento se reduz a 1 / e 2 de seu valor inicial após 2 oscilações. Considerando que estas duas oscilações levam 2 s, determine:

a) O valor numérico dos coeficientes b e c e da constante elástica da mola.

b) Resolva a equação diferencial encontrando y(t) sabendo que o sistema inicia seu movimento na posição de equilíbrio y 0   =   0 e com velocidade = -12 m/s.

c) Considere agora que este oscilador seja acoplado à uma força externa e passe a oscilar conforme a equação y ¨   +   b y ˙ +   c y   =   c o s ( Ω t ) . Encontre a frequência Ω r para a qual a amplitude da oscilação seja máxima e a amplitude do movimento para esta frequência. Considere que o tempo durante o qual o sistema está operando é grande o suficiente para que a parte homogênea já tenha decaído.

Passo 1

a) Como ele falou que tem oscilações, o MHA necessariamente vai ser no regime subcrítico!

Como ele disse que duas oscilações levam 2 segundos, uma oscilação leva 1segundo. Então:

T = 1   s

Como:

ω = 2 π T

ω = 2 π = 6   r a d / s

Passo 2

O regime subcrítico tem solução:

y t = A e - γ t / 2 c o s ⁡ ( ω t + φ )

Podemos escrever:

A t = A e - γ t / 2

E:

A 0 = A

Após duas oscilações ( t = 2   s ) a amplitude se reduz à 1 / e 2 da inicial. Então:

A 2 = A e - γ = A e 2

Então:

e - γ = e - 2

γ = 2   s - 1

E o coeficiente b:

b = γ = 2   s - 1

O coeficiente c é:

c = ω 0 2

Show, precisamos achar ω 0 . Vamos usar a fórmula:

ω = ω 0 2 - γ 2 4

6 = ω 0 2 - 2 2 4

36 = ω 0 2 - 1

ω 0 2 = 37   r a d 2 s 2

c = 37   r a d 2 s 2

Passo 3

Como:

ω 0 2 = k m

37 = k 2

k = 74   N / m

Passo 4

b) Já sabemos que:

y t = A e - γ t / 2 c o s ⁡ ( ω t + φ )

Então:

y ˙ t = - γ A e - γ t / 2 c o s ⁡ ( ω t + φ ) 2 - ω A e - γ t / 2 sin ⁡ ( ω t + φ )

No início:

y 0 = A cos ⁡ φ = 0

cos ⁡ φ = 0

φ = ±   π / 2

y ˙ 0 = - γ A c o s ⁡ φ 2 - ω A sin ⁡ φ = - 12

- ω A sin ⁡ φ = - 12

ω A sin ⁡ φ = 12

sin ⁡ φ > 0

φ =   π / 2

ω A = 12

6 A = 12

A = 2   m / s

Então:

y t = 2 e - t c o s ⁡ ( 6 t + π / 2 )

Passo 5

c) A equação que ele deu foi:

y ¨ + b y ˙ + c y = cos ⁡ Ω t = F 0 m cos ⁡ ( Ω t )

E ele disse que o tempo é grande o suficiente pra parte homogênea já ter decaído. Então a solução vai ser só a particular! Que é:

y t = A ( Ω ) cos ⁡ ( Ω t )

Em que:

A Ω = F 0 m ( ω 0 2 - Ω 2 ) 2 + ( γ Ω ) 2

Show! E ele quer a frequência Ω r que dá a amplitude máxima! Então vamos derivar.

d A Ω d Ω = 0

Aqui eu vou ter que usar a Regra da Cadeia e a Regra do Quociente pra derivadas.

d A Ω d Ω = - F 0 m × - 4 Ω ( ω 0 2 - Ω 2 ) + 2 Ω γ 2 2 ( ω 0 2 - Ω 2 ) 2 + ( γ Ω ) 2 ( ω 0 2 - Ω 2 ) 2 + ( γ Ω ) 2 = 0

O numerador da fração tem que ser zero!

- F 0 m × - 4 Ω ( ω 0 2 - Ω 2 ) + 2 Ω γ 2 2 ( ω 0 2 - Ω 2 ) 2 + ( γ Ω ) 2 = 0

Mais uma vez, o numerador tem que ser zero:

- 4 Ω ω 0 2 - Ω 2 + 2 Ω γ 2 = 0

γ 2 = 2 ω 0 2 - Ω 2

γ 2 2 = ω 0 2 - Ω 2

Ω 2 = ω 0 2 - γ 2 2

Ω = ω 0 2 - γ 2 2

Então:

Ω r = ω 0 2 - γ 2 2

Passo 6

Vamos achar Ω r :

Ω r = 37 - 2 2 2

Ω r = 35

E calcular o valor de A r pra essa frequência:

A Ω r = A r = 1 ( 37 - 35 ) 2 + 35 × 4 = 1 144

A r = 1 12   m

Resposta

a) b = 2   s - 1 , c = 37   r a d 2 s 2 e k = 74   N / m

b) y t = 2 e - t c o s ⁡ ( 6 t + π / 2 )

c) A r = 1 12   m

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