Exercícios Resolvidos de Regime Transitório, Permanente e Ressonância

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Enunciado

Considere um bloco de massa M preso à extremidade de uma mola de constante elástica k e comprimento relaxado l 0 e em repouso. A outra extremidade da mola é, então, presa a um dispositivo que oscila com frequência angular e cuja posição é dada por x v t =   a   c o s   (   Ω t   ) + a , onde a é uma constante positiva. Suponha que o bloco oscile com a mesma frequência do dispositivo e que o atrito seja desprezível.

a) Desenhe o diagrama de forças que agem sobre o bloco de massa M e escreva as expressões para os vetores que representam tais forças de forma explícita num sistema de coordenadas apropriado.

(b) Deduza a equação diferencial que descreve o movimento do bloco em termos da variável X = x - a - l 0 .

(c) Resolva a equação diferencial encontrando a solução x ( t ) para as condições iniciais do problema.

(d) Qual a frequência do dispositivo para que o sistema entre em ressonância e o que ocorre com a amplitude neste valor de frequência?

Passo 1

a) Temos que desenhar o diagrama de forças. Temos no eixo y, o peso e a normal se compensando. No eixo x, temos uma força restauradora da mola e do sistema de oscilação forçada:

Onde

N → + P → = 0

P → = - m g   y ^

N → = + m g   y ^

Já no eixo horizintal, temos a força restauradora da mola

F → = - k Δ x   x ^

Onde o Δ x da mola é o quanto a mola está esticada ou contraída em relação ao dispositivo ( x v ( t ) ). Como o comprimento da mola é l 0 , então:

Δ x = x t - x v t - l 0

F → = - k ( x - x v - l o )   x ^

Passo 2

b) Vamos encontrar a equação diferencial desse movimento.

A normal e o peso se anulam, então a única força resultante é a força restauradora.

Então, no eixo x:

F = - k x - x v - l 0 = m a

Substituindo

- k x - a cos ⁡ Ω t - a - l 0 = m x ¨

Dividindo tudo por m e reorganizando:

x ¨ + k m x - a - l 0 = k m a   c o s ⁡ ( Ω t )

O enunciado nos diz para usar a variável X = x - a - l 0 . Então,

X = x - a - l 0

X ¨ = x ¨

Então,

X ¨ + k m X = k m a   c o s ( Ω t )

Fazendo aquela substituiçãozinha de sempre ω 0 = k / m , chamos na equação:

X ¨ + ω 0 2 X = ω 0 2 a   c o s ( Ω t )

Passo 3

c) Bora resolver essa EDOzinha aí!

Temos uma equação não homogênea, pois tem um termo que não depende do X ( t ) . Então temos duas soluções, uma homogênea e uma particular

X t = X h t + X p t

Para calcular a homogênea, basta fingir que não tem nada depois do sinal de igual e resolver normal:

X h ¨ + ω 0 2 X h = 0

Essa é a famosa EDO do movimento harmônico simples, com solução:

X h t = A   c o s ⁡ ( ω 0 t + ϕ )

Passo 4

Agora, para a solução particular tem que ser mais criativo. Como a parte não homogênea é oscilatória ( ω 0 2 a   c o s ( Ω t ) ), você chuta uma solução também oscilatória e vê no que dá. Por exemplo, vou chutar que a solução particular é:

X p = B   s e n Ω t + C cos ⁡ Ω t

X p ˙ = Ω B c o s Ω t - C s e n Ω t

X p ¨ = - Ω 2 [ B s e n Ω t + C c o s ( Ω t ) ]

Jogando isso na EDO inicial:

X ¨ + ω 0 2 X = ω 0 2 a cos ⁡ Ω t

- Ω 2 B   s e n Ω t + C   c o s Ω t + ω 0 2 B   s e n Ω t + C   c o s Ω t = ω 0 2 a cos ⁡ Ω t

( ω 0 2 - Ω 2 ) B   s e n Ω t + C   c o s Ω t = ω 0 2 a   c o s ⁡ ( Ω t )

Como só tem coseno do lado direito, então no lado esquerdo:

B = 0

O que nos faz chegar em

( ω 0 2 - Ω 2 ) C cos ⁡ Ω t = ω 0 2 a cos ⁡ Ω t

C = ω 0 2 a ω 0 2 - Ω 2

Juntando tudo:

X p = ω 0 2 a ω 0 2 - Ω 2 c o s ⁡ ( Ω t )

Passo 5

Podemos juntar as duas soluções agora:

X t = A cos ⁡ ω 0 t + ϕ + ω 0 2 a ω 0 2 - Ω 2 c o s ⁡ ( Ω t )

Onde A e ϕ são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais do problema.

Voltando a variável para x ( t ) , onde X t = x - a - l 0

x t = a + l 0 + A cos ⁡ ω 0 t + ϕ + ω 0 2 a ω 0 2 - Ω 2 c o s ⁡ ( Ω t )

As condições iniciais do problema são (O comprimento relaxado l 0 e em repouso):

x 0 = l 0

x ˙ 0 = 0

Aplicando a primeira:

x 0 = a + l 0 + A   c o s ϕ + ω 0 2 a ω 0 2 - Ω 2 = l 0

A cos ⁡ ϕ = - a - ω 0 2 a ω 0 2 - Ω 2 = - a [ ω 0 2 - Ω 2 + ω 0 2 ω 0 2 - Ω 2 ]

A cos ⁡ ϕ = - a 2 ω 0 2 - Ω 2 ω 0 2 - Ω 2

Aplicando a segunda:

x ˙ t = - ω 0 A s e n ω 0 t + ϕ - ω 0 2 a Ω ω 0 - Ω 2 s e n Ω t

x ˙ 0 = - ω 0 A s e n ϕ = 0

A   s e n ϕ = 0

ϕ = 0   o u   π

Passo 6

Temos que analisar as possibilidades agora,

A cos ⁡ ϕ = - a 2 ω 0 2 - Ω 2 ω 0 2 - Ω 2

Dependendo da relação entre Ω e ω 0 , teremos ϕ = 0 ou ϕ = π , respeitando que A ≥ 0 .

Se ϕ = π , então cos ⁡ ϕ = - 1 :

- A = - a 2 ω 0 2 - Ω 2 ω 0 2 - Ω 2

Para que isso ocorra, o denominador e o numerador devem ser simultaneamente ambos positivos ou ambos negativos:

2 ω 0 2 - Ω 2 ≥ 0 e ω 0 2 - Ω 2 > 0 :

Ω < 2 ω 0   e   Ω < ω 0

Então, 0 ≤ Ω ≤ ω 0 , para ϕ = π

Ou então,

2 ω 0 2 - Ω 2 < 0 e ω 0 2 - Ω 2 < 0 simultaneamente:

Ω > 2 ω 0   e   Ω > ω 0

Então, Ω > 2 ω 0 , para ϕ = π

No caso de ϕ = 0 , cos ⁡ ϕ = 1 :

A = - a 2 ω 0 2 - Ω 2 ω 0 2 - Ω 2

Como A ≥ 0 , então o numerador e o denomidador devem ter sinais opostos:

Ou 2 ω 0 2 - Ω 2 < 0 e ω 0 2 - Ω 2 > 0

Ω > 2 ω 0   e   Ω < ω 0

O que é impossível. Então, para ϕ = 0 :

2 ω 0 2 - Ω 2 ≥ 0 e ω 0 2 - Ω 2 < 0

Ω ≤ 2 ω 0   e   Ω > ω 0

Logo, ω 0 < Ω < 2 ω 0 para ϕ = 0 .

Juntando tudo:

ϕ = π ,     0 ≤ Ω ≤ ω 0 0 ,     ω 0 < Ω < 2 ω 0 π ,     Ω > 2 ω 0

Passo 7

d) Para entrar em ressonância, como já sabemos, a frequência externa tem que ser igual a frequência natural de oscilação do sistema.

Mas o que acontece com a amplitude?

Se elevarmos a expressão para a amplitude ao quadrado para não ter que lidar com essas fases diferentes:

A 2 cos 2 ⁡ ϕ = a 2 2 ω 0 2 - Ω 2 ω 0 2 - Ω 2 2

Pois ϕ = 0   o u   π , então cos 2 ⁡ 0 = cos 2 ⁡ π = 1 , chegamos numa expressão única:

A 2 = a 2 2 ω 0 2 - Ω 2 ω 0 2 - Ω 2 2

Quando Ω = ω 0

lim Ω → ω 0 ⁡ A 2 = a 2 ω 0 4 lim Ω → ω 0 ⁡ 1 ω 0 2 - Ω 2 = ∞

A amplitude diverge, como era esperado, pois não há amortecimento no sistema!

Resposta

a) F → = - k ( x - x v - l o )   x ^

b) X ¨ + ω 0 2 X = ω 0 2 a   c o s ( Ω t )

c) x t = a + l 0 + A cos ⁡ ω 0 t + ϕ + ω 0 2 a ω 0 2 - Ω 2 c o s ⁡ ( Ω t )

Onde A = - a 2 ω 0 2 - Ω 2 ω 0 2 - Ω 2 e ϕ = π ,     0 ≤ Ω ≤ ω 0 0 ,     ω 0 < Ω < 2 ω 0 π ,     Ω > 2 ω 0

d) Ω = ω 0 . Amplitude diverge.

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