Exercícios Resolvidos de Regime Transitório, Permanente e Ressonância

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Enunciado

Um objeto de massa m se move no eixo O x sujeito a uma força horizontal F x de modo que a equação de movimento é dada por x ¨ +   γ x ˙ +   ω 0 2 x = F 0 s e n ( ω t ) , onde γ ≥ 0, F 0 > 0 e ω 0 > 0. A amplitude A da solução particular desta equação varia com ω de acordo com o que mostra a figura em três situações correspondentes a valores diferentes γ e ω 0 , tal que ω 0 γ .

É INCORRETO afirmar que:

a) Quanto maior o valor de ω 0 , maior a amplitude máxima da curva correspondente.

b) O amortecimento é maior na curva (1).

c) A frequência de ressonância é a mesma para as três curvas.

d) A curva (3) corresponde ao aso sem amortecimento.

e) Para ω ≫ ω 0 , a solução particular é defasada de π em relação à força externa.

Passo 1

Bom, o enunciado nos mostra uma EDO de um oscilador forçado, amortecido e com força externa oscilatória. Então, a expressão da amplitude em função da frequência é dada por:

à ω = F 0 m ω n 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2

Vamos, agora, analisar uma por uma das alternativas.

Passo 2

a) Será que quanto maior for a frequência maior será a amplitude? Claro que não, como vimos no nosso capítulo, a amplitude será maior quanto mais próxima for da frequência de ressonância( na expressão, ω n ) .

Então essa é a incorreta.

Passo 3

b) Olhando a expressão do início da questão, você vai perceber que quanto maior for o amortecimento( γ ) , maior será o denominador e menor será a razão, logo, menor será a amplitude. Então, a afirmação está correta, já que a curva 1 tem a menor amplitude.

Passo 4

c) Verdade. Como podemos ver no gráfico, os picos das três curvas, as máximas amplitudes, estão alinhados. E como é nesse ponto que ocorre a ressonância, podemos dizer que, sim, a frequência de ressonância é a mesma para todas as curvas.

Correta, então!

Passo 5

d) Sim, caso não tenhamos amortecimento ( γ = 0 ) , vamos ter a expressão:

à ω = F 0 m ω n 2 - ω 2 2 + ( 0 ) ω 2 = F 0 m ω n 2 - ω 2 2 = F 0 m ω n 2 - ω 2

Se fizermos ω tender a ω n , a amplitude vai tender ao infinito. É isso que o gráfico dessa curva mostra.

Correta!

Passo 6

e) Sim!!! Vamos pensar no caso em que não há dissipação. Pela nossa teoria, temos que a fase da solução particular será:

φ 0 = 0   s e   ω < ω 0

φ 0 = - π   s e   ω > ω 0

A situação dessa letra e ) se enquadra no segundo caso acima. Assim, a solução particular será dada por:

x p t = F m ω n 2 - ω 2 c o s ⁡ ( ω t - π )

Por causa dessa fase, podemos dizer que a solução está defasada da força externa sim.

Opção correta também!

Resposta

a)

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