Exercícios Resolvidos de Regime Transitório, Permanente e Ressonância

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Enunciado

Um grupo de estudantes construiu um oscilador utilizando um bloco de massa m 1 e uma mola de constante elástica k. Um segundo grupo de estudantes construiu um outro oscilador acoplando um bloco de massa m 2 a uma mola idêntica àquela utilizada pelo primeiro grupo de estudantes. Os dois sistemas oscilam em um meio cuja força de resistência é proporcional à velocidade com o mesmo coeficiente de resistência ρ . Cada grupo de estudantes aplicou uma força externa periódica F 0 c o s ( Ω t ) de mesma amplitude aos sistemas. No regime estacionário, os valores máximos das potências médias dissipadas pelos osciladores em cada ciclo de oscilação, são dadas por P 1 - e P 2 - . Analisando a curva de ressonância abaixo, pode-se afirmar que:

(a) m 1 > m 2 ,   γ 1 = γ 2 ,   P 1 - = P 2 - .

(b) m 1 = m 2 ,   γ 1 < γ 2 ,   P 1 - = P 2 - .

(c) m 1 = m 2 ,   γ 1 < γ 2 ,   P 1 - > P 2 - .

(d) m 1 < m 2 ,   γ 1 > γ 2 ,   P 1 - < P 2 - .

(e) m 1 < m 2 ,   γ 1 > γ 2 ,   P 1 - > P 2 - .

Passo 1

Temos aqui oscilações forçadas e amortecidas, com as forças elástica, amortecimento, e externa:

F e l = - k x

F a m o r t = - ρ v

F e x t = F 0 c o s ⁡ ( Ω t )

Juntando tudo na segunda lei de Newton

- k x - ρ v + F 0 cos ⁡ Ω t = m a

Substituindo v = x ˙ e a = x ¨ , dividindo tudo por m e reorganizando, temos que:

x ¨ + ρ m x ˙ + k m x = F 0 m c o s ⁡ ( Ω t )

Definido a constante de amortecimento γ = ρ / m , a frequência natural de oscilação ω 0 = k / m , temos a equação diferencial:

x ¨ + γ x ˙ + ω 0 x = F 0 m cos ⁡ Ω t

Onde vamos ter uma solução homogênea, que vai ser crítico, subcrítico ou supercrítico, todas decaem exponencialmente no tempo, que vão ser soluções transientes. E vamos ter uma solução particular, que vai ser a única que vai restar no regime estacionário.

Como estamos lidando apenas com a regime estacionário, vamos calcular apenas a solução particular, que vai ser:

x t = A ~ ω   c o s ⁡ ( Ω t + ϕ ( Ω ) )

Onde a amplitude é:

A ~ ( ω ) = F 0 m ω 0 2 - Ω 2 2 + γ 2 Ω 2

Passo 2

Na frequência de ressonância, quando a amplitude é máxima, Ω = ω 0 ,

A ~ ω 0 = F 0 m γ 2 ω 0 2 = F 0 m γ ω 0

Como no gráfico temos A ~ 2 , usando o fato que γ = ρ / m e que ω 0 2 = k / m :

A ~ 2 ω 0 = F 0 2 m 2 γ 2 ω 0 2

A ~ 2 ω 0 = F 0 2 ρ 2 m k

Comparando as amplitudes de 1 e de 2,

A ~ m a x , 2 > A ~ m a x , 1

Como o meio é o mesmo ( ρ 1 = ρ 2 = ρ ) e a mola é a mesma ( k 1 = k 2 = k ), então:

F 0 2 ρ 2 m 2 k > F 0 2 ρ 2 m 1 k

m 2 > m 1

Passo 3

Usando o fato que

ρ = γ m

Como os meios são iguais,

ρ 1 = ρ 2 = ρ

γ 1 m 1 = γ 2 m 2

m 1 m 2 = γ 2 γ 1

Como m 1 < m 2 , então:

γ 1 > γ 2

Passo 4

A potência média dissipada pode ser obtida pela expressão (não precisa se desesperar ela vai estar no formulário da prova):

P - Ω = γ F 0 2 Ω 2 2 m [ ω 0 2 - Ω 2 2 + γ 2 Ω 2 ]

A potência será máxima justamente na ressonância, quando Ω = ω o , então:

P - ω 0 = F 0 2 2 m γ

Como vimos antes, a amplitude na ressonância é

A ~ ω 0 = F 0 ρ ω 0

E como γ = ρ / m :

P m a x - = F 0 2 2 m γ = 1 2 ω 0 F 0 A ~ ω 0

Passo 5

Vamos comparar as potências para a curva 1 e curva 2

P 2 - P 1 - = 1 2 ω 0,2 F 0 A ~ 2 ω 0,2 1 2 ω 0,1 F 0 A ~ 1 ω 0,1

P 2 - P 1 - = ω 0,2 A ~ 2 ω 0,2 ω 0,1 A ~ 1 ω 0,1

Vamos olhar no gráfico para ver quem o maior produto frequência-amplitude na ressonância.

Para a curva 1,

ω 0,1 = 10   r a d / s

A ~ 1 2 ω 0,1 = 1,6   m 2

Na curva 2,

ω 0,2 = 8   r a d / s

A ~ 2 2 ω 0,2 = 3,5   m 2

Então,

P 2 - P 1 - = 8 3,5 10 1,6 = 4 5 35 16

Podemos elevar ao quadrado dos dois lados para facilitar as contas:

P 2 - P 1 - 2 = 16 25 ∙ 35 16 = 7 5 > 1

P 2 > P 1

Resposta

(d) m 1 < m 2 ,   γ 1 > γ 2 ,   P 1 - < P 2 - .

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