Exercícios Resolvidos de Regime Transitório, Permanente e Ressonância

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Enunciado

Um oscilador harmônico amortecido de frequência natural de oscilação ω 0 , oscila sujeito a uma força externa periódica, da forma F t = F 0 c o s ⁡ ( ω t + δ ) .Seu deslocamento x em função do tempo t durante dois minutos é exibido no gráfico abaixo. Julgue as afirmativas:

I - O fenômeno de batimentos observado para t < 80 s indica a sobreposição de frequências diferentes. No entanto, uma das frequências é gradualmente atenuada pelo amortecimento.

I I - Após um intervalo de tempo suficientemente longo, o oscilador oscilará de forma periódica, com período: T = 2 π ω .

I I I - A partir de t = 80 s as forças de amortecimento cessam de agir no sistema.

I V - Em seu regime estacionário, a média de energia mecânica do oscilador sobre uma oscilação é conservada. No entanto, o mesmo não é verdade para a energia a cada instante.

  1. Apenas I I e I I I estão corretas.
  2. Apenas I e I V estão corretas.
  3. Apenas a I I I esta incorreta.
  4. Apenas a I V esta incorreta.

Passo 1

Vamos julgar uma por uma:

I - Verdade! Bem, a figura realmente representa um batimento, certo? Além disso, nós sabemos que no regime estacionário, o sistema oscila com a frequência da força externa.

No entanto, o sistema possui a sua frequência padrão, que é o ω 0 , e no inicio, oscila com essa frequência. Então, a frequência angular do batimento será:

ω b a t = ω - ω 0

E a frequência linear será:

f b a t = f - f 0

I I - Pegando carona na explicação anterior: Verdade! Por que? Porque no regime estacionário, o sistema passa a oscilar com a frequência da força externa, ω . Então, o período será:

ω = 2 π T → T = 2 π ω

Passo 2

I I I -Falsa! As forças de amortecimento não deixam de agir no sistema. Isso nunca foi dito, o que acontece é que a oscilação passa a ser dominada pela força externa.

As forças de amortecimento, que são forças de atrito, dissipam a energia do sistema, certo?

O que acontece no regime estacionário é que a força externa repõe essa energia perdida. Isso faz com que a amplitude da oscilação no regime estacionário se mantenha constante, mas as forças de atrito continuam ali sim.

I V -Verdadeira- Essa pergunta é um pouco complicada. Bem, sabemos que no regime estacionário o sistema vai oscilar com uma frequência ω , e com uma amplitude constante dada pela fórmula:

A 2 ω = F 0 2 m 2 ω 0 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2

Além disso, o movimento no regime permanente é um MHS. Assim, a energia mecânica seria dada por:

E M = k A 2 ω 2

Beleza, mas não existem forças dissipativas? Quando existem forças dissipativas num sistema, a energia mecânica não se conserva, não é mesmo?

Sim, por isso eu pego carona na explicação anterior. Como existem forças dissipativas dissipando energia a cada instante, se olhássemos pro sistema num espaço de tempo muito pequeno, um d t , veríamos um sistema não conservativo.

No entanto, olharmos um longo espaço de tempo ∆ t , veremos um sistema cuja energia mecânica se conserva graças às reposições de energia que são feitas pela força externa. Sacou? Assim, a média vai ser próxima do valor:

E M = k A 2 ω 2

Resposta

c)

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