Exercícios Resolvidos de Regime Transitório, Permanente e Ressonância

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Enunciado

Considere as seguintes afirmações sobre oscilações forçadas amortecidas, quando a força é dada por F = F0 cos( ω t) e ω 0 é a frequência natural das oscilações.

I. Para uma dada amplitude F0, a solução estacionária na frequência de ressonância pode ter amplitude no máximo igual a 4 vezes a amplitude de oscilação no limite ω → 0 .

II. Para ω ≫ ω 0 , o sistema responde com uma baixa amplitude de oscilação.

III. No regime de amortecimento fraco e baixa frequência ( ω ≪ ω 0 ), o movimento está em oposição de fase com a força externa.

Quais destas afirmações são corretas?

(a) Nenhuma.

(b) I, II e III.

(c) Apenas I e II.

(d) Apenas I e III.

(e) Apenas II e III.

(f) Apenas I.

(g) Apenas II.

(h) Apenas III.

Passo 1

Vamos analisar cada alternativa.

I) A solução estacionária é a solução particular, que tem amplitude:

A 2 ( ω ) = F 0 2 m 2 [ ω 0 2 - ω 2 2 + γ ω 2 ]

Pelo amor de Khaleesi que coisa horrorosa. Mas calma, tá tudo sob controle!

A frequência de ressonância é:

ω r e s s o n â n c i a = ω 0 2 - γ 2 2

Substituindo isso na amplitude:

A 2 ( ω r e s s o n â n c i a ) = F 0 2 m 2 γ 2 ( ω 0 2 - γ 2 4 )

A 2 ( ω r e s s o n â n c i a ) = F 0 2 m 2 γ 2 ( ω r e s s o n â n c i a 2 + γ 2 4 )

E com ω → 0 :

A 2 ( ω ) = F 0 2 m 2 [ ω 0 2 - ω 2 2 + γ ω 2 ]

lim ω → 0 ⁡ A 2 ( ω ) = F 0 2 m 2 ω 0 4

Nós não podemos dizer que A 2 ( ω r e s s o n â n c i a ) vai ser no máximo 4 F 0 m 2 ω 0 4 . Então tá errada!

II) Olhando de novo pra fórmula de A:

A 2 ( ω ) = F 0 2 m 2 [ ω 0 2 - ω 2 2 + γ ω 2 ]

Se ω for muito maior que ω 0 , o denominador vai ser muito grande! Então A vai ser muito pequeno. Tá certo!

III) O ângulo de fase na solução particular é dado por:

φ = - tan - 1 ⁡ γ ω ω 0 2 - ω 2

Estamos considerando o regime permanente! Então a solução homogênea não importa.

Para ω ≪ ω 0 :

φ = - tan - 1 ⁡ 0

φ = 0 °

O ângulo de fase da força externa é zero! Então:

φ - φ F o r ç a   E x t e r n a = 0

Não estão em diferença de fase. Então tá errada!

A única certa é a II.

Resposta

Letra G.

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