Exercícios Resolvidos de Regime Transitório, Permanente e Ressonância

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Enunciado

Um pêndulo de torção de massa M = 5,0 k g , imerso em um meio viscoso, oscila em torno do seu ponto de equilíbrio obedecendo a seguinte equação de movimento:

I θ ¨ = - b θ ˙ - k θ  

Onde I = 3,0 k g . m 2 ,   k = 2,0 N . m e b = 3 2 N . m . s .

  1. Determine a solução da equação do movimento considerando as seguintes restrições :   θ t = 0 = 0,5 r a d e θ ˙ t = 0 = 0 .
  2. Qual o tempo necessário para que a amplitude caia à metade?
  3. Suponha agora que o pêndulo esteja sob a ação de um torque externo periódico τ t = 7 cos ⁡ 3 3 t .

  4. Calcule a amplitude da solução estacionária.
  5. Dadas as mesmas condições iniciais do ítem a ) , qual o tempo necessário para que a amplitude da solução transiente seja 1 6 da amplitude da solução estacionária?

Passo 1

Vamos lá, não se assuste. É um pêndulo de torção e tudo mais, mas a forma de resolver isso ai é a mesma forma de sempre que usamos pra resolver MHA:

I θ ¨ = - b θ ˙ - k θ

I θ ¨ + b θ ˙ + k θ = 0

θ ¨ + b I θ ˙ + k I θ = 0

Bom, dessa última equação a gente pode tirar que:

γ = b I = 2

ω 0 = k I = 2 3 r a d / s

Como:

ω 0 > γ 2 :

O amortecimento é subcrítico.

Além disso, calculamos o ω como sendo:

ω = ω 0 2 - γ 2 4 = 2 3 - 1 2 = 1 6  

Então a solução será do tipo:

θ t = θ 0 e - γ t 2 cos ⁡ ω t + φ

θ ˙ t = ω ( t ) = - γ 2 θ 0 e - γ t 2 cos ⁡ ω t + φ - ω θ 0 e - γ t 2 s e n ( ω t + φ )

Vamos às condições iniciais:

θ 0 = 0,5 → θ 0 cos ⁡ φ = 0,5

E:

ω 0 = 0 :

- γ 2 θ 0 cos ⁡ φ - ω θ 0 s e n φ → tan ⁡ φ = - γ 2 ω = - 2 2 6 = - 3

Logo:

φ = a r c t g - 3 → φ = 5 π 6 r a d ou φ = - π 3 r a d

Ufa! Agora vamos juntar essa bagaça toda na equação modelo:

θ t = θ 0 e - γ t 2 cos ⁡ ω t + φ

θ t = e - 2 2 t cos ⁡ 1 6 t + 5 π 6

Ou:

θ t = e - 2 2 t cos ⁡ 1 6 t - π 3

Passo 2

b):

Quanto tempo leva pra amplitude cair a metade? Bom, nesse tipo de questão a gente só precisa analisar a parte da equação do movimento que diz respeito à amplitude.

Isso é, a parte que está fora do cosseno ou seno:

A θ t = e - 2 2 t

Nós queremos descobrir o tempo que a amplitude leva pra cair a metade. Como o fator que multiplica o e é a amplitude, a gente percebe que nesse caso ela vale 1.Então:

e - 2 2 t = 1 2 →   - 2 2 t = ln ⁡ 1 2   → t = 2 ln ⁡ 2 s

Passo 3

c):

O torque externo é:

τ t = 7 cos ⁡ 3 3 t .

Dai tiramos que τ 0 = 7 e que ω = 3 3

Vamos calcular a amplitude desse novo sistema de oscilação então. Pra isso, vamos usar a equação da amplitude em função de ω :

A 2 ω = F 0 2 m 2 ω 0 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2

Só temos que reparar que ali a gente precisa mudar F 0 → τ 0 e m → I . A gente sempre faz essas analogias nesse tipo de questão de pêndulo de torção.

Então A será:

A 3 3 = 7 3,0 2 2 3 - 1 3 2 + 2 3 = 7 9 1 9 + 2 3 = 7 7 = 1 r a d

A 0 = 1 r a d

Passo 4

d):

Pra resolver isso, basta fazermos:

θ 0 e - γ t 2 = 1 6 A 0

Pois a solução transiente desse sistema seria aquela equação que calculamos em a ) . Então por isso que usamos θ 0 e - γ t 2 . Então:

1 . e - 2 2 t = 1 6   → 2 2 t = ln ⁡ 6 → t = 2 l n 6 s  

Resposta

a):

θ t = e - 2 2 t cos ⁡ 1 6 t - π 3

θ t = e - 2 2 t cos ⁡ 1 6 t - 5 π 6

b):

t = 2 ln ⁡ 2 s

c):

A 0 = 1 r a d

d):

t = 2 l n 6 s

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