Exercícios Resolvidos de Seno e Cosseno da Soma e Subtração de Arcos

Elaboração Própria

Considere as expressões

A = cos ⁡ x + cos ⁡ y ,             B = sen ⁡ x - sen ⁡ y

Sendo x + y = 120 o . O valor de A 2 + B 2 é:

a)2

b) cos 2 ⁡ x - cos 2 ⁡ y

c) 2 sin ⁡ x sin ⁡ y

d)4

e)1

Passo 1

Antes de substituir, vamos tentar calcular A 2 e B 2 :

A 2 = cos ⁡ x + cos ⁡ y 2 = cos 2 ⁡ x + 2 cos ⁡ x cos ⁡ y + cos 2 ⁡ y

Agora, temos que:

B 2 = sen ⁡ x - sen ⁡ y 2 = sen 2 ⁡ x - 2 sen ⁡ x sen ⁡ y + sen 2 ⁡ y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo:

A 2 + B 2 =

cos 2 ⁡ x + 2 cos ⁡ x cos ⁡ y + cos 2 ⁡ y + sen 2 ⁡ x - 2 sen ⁡ x sen ⁡ y + sen 2 ⁡ y

= sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x + 2 cos ⁡ x cos ⁡ y - sen ⁡ x sen ⁡ y + sen 2 ⁡ y + cos 2 ⁡ y

Pela relação fundamental da trigonometria, reduzimos a:

A 2 + B 2 = 2 + 2 cos ⁡ x cos ⁡ y - sen ⁡ x sen ⁡ y

Veja agora que esse último é cos ⁡ x + y pela soma de arcos. Então, podemos escrever: A 2 + B 2 = 2 + 2 cos ⁡ x + y

Passo 3

Como x + y = 120 º :

A 2 + B 2 = 2 + 2 cos ⁡ x + y = 2 + 2 cos ⁡ 120 º

Que, pela simetria do círculo trigonométrico, é equivalente a: cos ⁡ 120 º = - cos ⁡ 60 º = - 1 2

Logo:

A 2 + B 2 = 2 - 1 = 1

Resposta

A 2 + B 2 = 1

Letra e

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