Exercícios Resolvidos de Seno e Cosseno da Soma e Subtração de Arcos

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Enunciado

A expressão

4 s e n 2 x - s e n 2 2 x

É igual a:

  1. 4 s e n 4 ( x )
  2. 4 cos 4 ⁡ ( x )
  3. 4 t g 4 ( x )
  4. 4 s e n 2 x cos 2 ⁡ ( x )
  5. N e n h u m a   d a s   r e s p o s t a s   a n t e r i o r e s

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui!

O problema pediu simplificarmos essa expressão aqui

4 s e n 2 x - s e n 2 2 x

Mas calma! A ideia aqui é encontrar uma identidade trigonométrica que ajude a gente a melhorar essa expressão! Como temos só seno, já é meio caminho andado! Quando temos senos e cossenos, primeiro precisamos substituir por um apenas.

Aqui temos dois argumentos: x e 2 x . Então precisamos usar alguma identidade que ajude a igualar isso!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

O pulo do gato é enxergar 2 x como a soma de x + x

s e n 2 x = s e n ( x + x )

E aí lembrar da identidade que fala do seno da soma de dois arcos!

s e n a + b = s e n a cos ⁡ b + s e n b cos ⁡ a

Isso mesmo! Agora temos que a = b = x , então aquele s e n ( 2 x ) pode ser substituído por

s e n 2 x = 2 s e n x c o s x

Vamos resgatar a expressão que queremos simplificar:

4 s e n 2 x - s e n 2 2 x

E substituir o s e n ( 2 x ) pela sua identidade:

4 s e n 2 x - 2 s e n x c o s x = 4 s e n 2 x - 4 s e n 2 x cos 2 ⁡ x

Mas e agora?

Passo 3

Agora vamos usar a relação fundamental, assim vamos nos livrar daquele cosseno!

Obs: sempre que surgir um cos 2 ⁡ x / s e n 2 x não se assustem! É só recorrer pra relação fundamental!

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 → cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 x

E daí substituir na nossa expressão:

4 s e n 2 x - 4 s e n 2 x cos 2 ⁡ x = 4 s e n 2 x - 4 s e n 2 x ( 1 - s e n 2 x )

= 4 s e n 2 x - 4 s e n 2 x - 4 s e n 4 x

= - 4 s e n 4 x

Simplificamos a expressão!

4 s e n 2 x - s e n 2 2 x = - 4 s e n 4 x

E a alternativa que diz isso é a letra (A)

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

( A )

E = { x ∈ Z | x ≤ 3 }

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