Exercícios Resolvidos de Seno e Cosseno da Soma e Subtração de Arcos

Vestibular FUVEST-SP 1994

Qual o valor de:

tg ⁡ 10 o + cotg ⁡ 10 o sen ⁡ 20 o

Passo 1

Opa, para resolver isso, vamos tentar deixar tudo no mesmo grau. Vamos então tentar mudar o sen ⁡ 20 º que é mais fácil.

Pelo arco duplo: sen ⁡ 20 º = sen ⁡ 2 ⋅ 10 º = 2 sen ⁡ 10 º cos ⁡ 10 º

Substituindo:

tg ⁡ 10 o + cotg ⁡ 10 o sen ⁡ 20 o = tg ⁡ 10 o + cotg ⁡ 10 o ⋅ 2 sen ⁡ 10 º cos ⁡ 10 º

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos distribuir:

tg ⁡ 10 o + cotg ⁡ 10 o ⋅ 2 sen ⁡ 10 º cos ⁡ 10 º

= 2 sen ⁡ 10 º cos ⁡ 10 º tg ⁡ 10 o + 2 sen ⁡ 10 º cos ⁡ 10 º cotg ⁡ 10 o

Passo 3

Vamos agora abrir a tangente para tentar cortar: tg ⁡ 10 o = sen ⁡ 10 º cos ⁡ 10 º

cotg ⁡ 10 º = cos ⁡ 10 º sen ⁡ 10 º

Substituindo:

2 sen ⁡ 10 º cos ⁡ 10 º sen ⁡ 10 º cos ⁡ 10 º + 2 sen ⁡ 10 º cos ⁡ 10 º cos ⁡ 10 º sen ⁡ 10 º =

2 sen 2 ⁡ 10 º + 2 cos 2 ⁡ 10 º = 2 sen 2 ⁡ 10 º + cos 2 ⁡ 10 º

Que, pela relação fundamental da trigonometria:

2 sen 2 ⁡ 10 º + cos 2 ⁡ 10 º = 2 ⋅ 1 = 2

Pronto! Viu com as relações trigonométricas são poderosas? Não precisamos calcular nenhum ângulo!

Resposta

tg ⁡ 10 o + cotg ⁡ 10 o sen ⁡ 20 o = 2

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