Exercícios Resolvidos de Seno e Cosseno da Soma e Subtração de Arcos

Elaboração Própria

Considere as expressões

A = cos x + cos y ,             B = sen x - sen y

Sendo x + y = 120 o . O valor de A 2 + B 2 é:

a)2

b) cos 2 x - cos 2 y

c) 2 sin x sin y

d)4

e)1

Passo 1

Antes de substituir, vamos tentar calcular A 2 e B 2 :

A 2 = cos x + cos y 2 = cos 2 x + 2 cos x cos y + cos 2 y

Agora, temos que:

B 2 = sen x - sen y 2 = sen 2 x - 2 sen x sen y + sen 2 y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo:

A 2 + B 2 =

cos 2 x + 2 cos x cos y + cos 2 y + sen 2 x - 2 sen x sen y + sen 2 y

= sen 2 x + cos 2 x + 2 cos x cos y - sen x sen y + sen 2 y + cos 2 y

Pela relação fundamental da trigonometria, reduzimos a:

A 2 + B 2 = 2 + 2 cos x cos y - sen x sen y

Veja agora que esse último é cos x + y pela soma de arcos. Então, podemos escrever: A 2 + B 2 = 2 + 2 cos x + y

Passo 3

Como x + y = 120 º :

A 2 + B 2 = 2 + 2 cos x + y = 2 + 2 cos 120 º

Que, pela simetria do círculo trigonométrico, é equivalente a: cos 120 º = - cos 60 º = - 1 2

Logo:

A 2 + B 2 = 2 - 1 = 1

Resposta

A 2 + B 2 = 1

Letra e

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