Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

UNICAMP - Cálculo 3 - P3 2010.2 - 2b

( b ) Mostre que a sequência

2 n n !

é monótona e limitada (determine se é não-crescente ou não-decrescente e dê uma cota inferior e uma cota superior). Ela é convergente ou divergente? (Não se esqueça de justificar.)

Passo 1

Primeiro, vamos tomar o termo geral:

a n = 2 n n !

E calcular os primeiros termos:

a 1 = 2

a 2 = 2 2 2 ! = 2

a 3 = 2 3 3 ! = 4 3

a 4 = 2 4 4 ! = 2 3

a 5 = 2 5 5 ! = 4 15

Isso mostra que os termos estão decrescendo ou permanecendo o mesmo. Isso parece uma sequência não crescente.

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Passo 2

Então, queremos ver se a n + 1 a n :

2 n + 1 ( n + 1 ) ! 2 n n !

2 . 2 n n + 1 . n ! 2 n n !

2 n + 1 1

Portanto,

2 n + 1

Como isso é sempre verdade já que n N * , a afirmação é a n + 1 a n verdadeira e a sequência é monótona não crescente.

Passo 3

Como o primeiro termo é o máximo (a sequência é não crescente), ele pode ser uma cota superior ( a n 2 ).

Uma cota inferior pode ser o 0 (não incluído), pois todos os termos devem ser positivos: a n > 0 .

Como existe uma cota inferior e uma superior, concluímos que a sequência é limitada.

Passo 4

Finalmente, segue do teorema que se a sequência é monótona e limitada, então ela é convergente.

Resposta

Monótona não crescente; a n 2 ; a n > 0 ; limitada; convergente.

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