Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

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Enunciado

Se b n = 1 n ∑ k = 1 n 1 k , então a sequência b n n ∈ N converge a:

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar? O enunciado nos deu uma sequência b n

b n = 1 n ∑ k = 1 n 1 k

E perguntou para onde a sequência b n n ∈ N converge.

Bom, primeiro vamos entender o que significa uma sequência convergir ou não. Uma sequência é como se fosse uma fileira de números b n , cada um com sua posição n .

Esses números estão relacionados por meio da função do termo geral b n . Essa função foi dada e é aquele b n . Os elementos dessa sequência são determinados substituindo o número n correspondente (1,2,3... apenas números inteiros positivos, pertencem ao conjunto dos naturais) na função do termo geral.

Determinar se uma sequência converge ou não é analisar o limite dessa função quando n é gigantesco, ou melhor, quando n → ∞

E aqui valem as mesmas regras para limites que você viu lá no cálculo

Dizemos que a sequência converge quando o resultado desse limite for um número. Se der quer dizer que essa sequência diverge.

Beleza?

Passo 2

Vamos começar analisando o limite de b n para n → ∞ .

Nosso termo geral é:

b n = 1 n ∑ k = 1 n 1 k

Preciso decifrar esse termo antes de aplicar o limite.

O símbolo de somatório ∑   significa que à medida que k varia (e ele varia de 1 em 1, começando em k = 1 e vai até algum número natural n ) o termo geral b n é a soma dos termos anteriores. Por exemplo, se n = 3 , então nosso termo geral é

b 3 = 1 3 ∑ k = 1 3 1 k = 1 3 1 1 + 1 2 + 1 3

Se n = 6 então nosso termo geral é:

b 6 = 1 6 ∑ k = 1 6 1 k = 1 6 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6

Quanto maior for nosso n , mais termos vamos ter de somar dentro dos colchetes. No entanto, os valores são menores enquanto que a fração que multiplica os colchetes é cada vez mais próximo de zero.

Assim, quando n → ∞

b n = lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 + … + 1 n = 0

Passo 3

Como falei no passo 1: calculando o limite do termo geral dele quando n → ∞ , se esse limite é finito, essa sequência converge, se não ela diverge.

Sendo assim, temos um valor finito no limite, significa que essa sequência converge. O enunciado era assim

“Se b n = 1 n ∑ k = 1 n 1 k , então a sequência b n n ∈ N converge a”

Então a resposta correta é: 0

Tranquilo? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

0

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Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? a n = - 2 n + 1
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 2 + - 1 n n
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 3 - 2 n e - n
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 1 - n 2 + n
Detemrine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico.A sequência é limitada? a n = cos ⁡ n