Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

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Enunciado

Seja s n n ∈ N a sequência cujo enésimo termo é definido por

s n = ∑ k = 1 n [ e n + 1 - e n ] ,   p a r a   t o d o   n ≥ 1

Em relação à sua convergência é correto dizer

( ) s n = e n + 1 - e , para todo n ≥ 1

( ) A sequência diverge para

( ) A sequência é crescente

( ) A sequência converge a 0

( ) s n = e n - e

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema nos deu uma sequência s n e perguntou quais alternativas estão corretas

( ) s n = e n + 1 - e , para todo n ≥ 1

( ) A sequência diverge para

( ) A sequência é crescente

( ) A sequência converge a 0

( ) s n = e n - e

Uma sequência é crescente se s n < s n + 1 , ou seja, se a soma parcial sempre vai aumentando. E se ela é crescente, tem grandes chances de no infinito, essa soma estourar para infinito! Então analisando as somas parciais, já conseguimos analisar quais alternativas estão corretas ou não.

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Vamos lá?

Passo 2

Vamos começar analisando nossa série

s n = ∑ k = 1 n [ e n + 1 - e n ]

Supondo que n = 1 , então o valor de s 1 vai ser dado apenas pelo termo com k = 1 :

s 1 = e 2 - e

Agora com n = 2 , a soma vai ser dada pelo valor anterior, mais o termo com k = 2 :

s 2 = e 2 + 1 - e 2 + s 1

Mas como s 1 = e 2 - e temos que s 2 é:

s 2 = e 2 - e + e 3 - e 2 = e 3 - e

Note que conseguimos cancelar o termo e 2 quando fizemos a soma de s 2 . Vamos ver o que acontece com s 3 ?

s 3 = e 3 + 1 - e 3 + s 2 = e 4 - e 3 + ( e 3 - e )

s 3 = e 4 - e

Seguindo a mesma lógica, podemos dizer que

s n = e n + 1 - e

Para qualquer valor de n ≥ 1 .

Sendo assim, temos que a primeira alternativa está correta! Bora marcar ela!

( X ) s n = e n + 1 - e , para todo n ≥ 1

Passo 3

A segunda e terceiras alternativas são:

( ) A sequência diverge para

( ) A sequência é crescente

Como sabemos o s n , podemos verificar se a sequência é crescente ou não e se ela diverge ou não.

Nosso s n é:

s n = e n + 1 - e

E quando somamos + 1 em n temos:

s n + 1 = e n + 2 - e

Para ser crescente precisamos ter s n + 1 > s n :

e n + 2 - e > ( e n + 1 - e )

e n + 2 > e n + 1

e n . e 2 > e n . e 1

e 2 > e 1

E independentemente do valor de n (aqui n é inteiro e positivo apenas), verificamos a desigualdade. Então essa sequência é sim crescente

E como

s n = e n + 1 - e

No infinito

s ∞ = lim n → ∞ ⁡ e n + 1 - e = ∞  

Então a sequência não só é crescente, como diverge para infinito!

Assim podemos marcar como corretas as alternativas 2 e 3:

(X) A sequência diverge para

(X) A sequência é crescente

Passo 4

As duas últimas alternativas são:

( ) A sequência converge a 0

( ) s n = e n - e

E estão erradas, já que são diferentes do que a gente acabou de calcular.

Então precisamos marcar apenas as três primeiras alternativas:

(X) s n = e n + 1 - e , para todo n ≥ 1

(X) A sequência diverge para

(X) A sequência é crescente

( ) A sequência converge a 0

( ) s n = e n - e

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

(X) s n = e n + 1 - e , para todo n ≥ 1

(X) A sequência diverge para

(X) A sequência é crescente

( ) A sequência converge a 0

( ) s n = e n - e

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Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? a n = - 2 n + 1
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 2 + - 1 n n
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 3 - 2 n e - n
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 1 - n 2 + n
Detemrine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico.A sequência é limitada? a n = cos ⁡ n