Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

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Enunciado

Seja a n n ∈ N a sequência definida de forma recorrente por:

a 1 = 3 ,     a n + 1 = 3 1 + a n 3 + a n ,     n ≥ 1

( a ) Supondo que a sequência a n n ∈ N seja convergente, calcule seu limite.

b Prove que a n n ∈ N é limitada e decrescente.

( c ) Justifique por que a n n ∈ N é convergente.

Passo 1

( a ) Supondo que a sequência a n n ∈ N seja convergente, calcule seu limite.

Cara, se estamos supondo que a sequência é convergente, então é certo afirmar que:

lim n → ∞ ⁡ a n = L

Então vamos aplicar isso naquele termo ali em cima:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 3 1 + a n 3 + a n

Pensa comigo: se o lim n → ∞ ⁡ a n = L , é verdade que lim n → ∞ ⁡ a n + 1 = L . Substituindo na equação:

L = 3 1 + L 3 + L

E agora é fazer as contas e descobrir que limite é esse!

L 2 + 3 L = 3 + 3 L

L 2 = 3

L = ± 3

Passo 2

Maneiro. Agora encontramos dois valores para L , mas somente um é o correto. Para fazer isso, vamos usar o Princípio da Indução Finita. Repara que:

i ) a 1 = 3 > 0

i i ) Supondo que o a n > 0 , temos que a n + 1 = 3 1 + a n 3 + a n > 0

O que nos indica que L = 3 , já que estamos tratando apenas de termos positivos.

Passo 3

( b ) Prove que a n n ∈ N é limitada e decrescente.

Bom, já vimos na letra ( a ) que a n > 0 , ∀ n ≥ 1 , e para mostrarmos que a sequência é decrescente, temos que mostrar que a n + 1 < a n ,   ∀ n > 1 :

a n + 1 < a n

3 1 + a n 3 + a n < a n

3 + 3 a n < a n 2 + 3 a n

3 < a n 2

a n > 3

Então temos que a n + 1 < a n ⇔   a n > 3 ,   ∀ n > 1 . ou seja, se provarmos que a sequência é limitada inferiormente por 3 , provamos que a sequência é decrescente.

Passo 4

Vamos usar novamente o Princípio da Indução Finita para provar a n > 3   ∀ n > 1 :

i ) a 1 = 3 > 3

i i ) Supondo que a n > 3 vamos mostrar que a n + 1 = 3 1 + a n 3 + a n > 3 :

3 1 + a n 3 + a n > 3

3 + 3 a n > 3 3 + a n 3

a n 3 - 3 > 3 3 - 3

a n > 3 ( 3 - 1 ) 3 - 3

a n > 3 3 - 1 3 3 - 1 = 3

Ou seja, a n + 1 > 3 ⇔   a n > 3 .

Portanto, a sequência é decrescente e limitada inferiormente por 3 .

Passo 5

( c ) Justifique por que a n n ∈ N é convergente.

Cara, como já provamos na letra ( b ) que a sequência é decrescente e limitada inferiormente, pelo Teorema da Sequência Monótona, ela é convergente.

Resposta

( a ) L = ± 3

( b ) A sequência é decrescente e limitada inferiormente por 3 .

( c ) Como a sequência é decrescente e limitada inferiormente, pelo Teorema da Sequência Monótona, ela é convergente.

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Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? a n = - 2 n + 1
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 2 + - 1 n n
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 3 - 2 n e - n
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 1 - n 2 + n
Detemrine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico.A sequência é limitada? a n = cos ⁡ n