Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

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Enunciado

Seja a n n ∈ N a sequência definida por

a n = n 2 e - n

  1. Se f x = x 2 e - x para x > 0 , determine f ' ( x )
  2. A sequência a n = n 2 e - n é decrescente, para n ≥ 2 ? Sim ou Não?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema nos deu uma sequência a n e pediu duas coisas

  • Na letra (a) deu uma função igualzinha à sequência e pediu a derivada dessa função: aqui não tem muito mistério, tem que ter memória mesmo! Lembrar lá de cálculo 1! É só derivar essa função, usando todas as regrinhas que você viu lá
  • E na letra (b) perguntou se a sequência é decrescente.

Para identificarmos se uma sequência é decrescente ou não, precisamos olhar para o limite do seu termo geral e ver se ele cresce ou não.

O termo geral de uma sequência é aquele a n que ele deu, e saber se o termo geral cresce ou não é fazer o limite da razão do termo posterior pelo termo anterior, assim:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Se esse limite for > 1 , quer dizer que o numerador é maior que o denominador, então os termos dessa sequência aumentam no infinito, e aí dizemos que a sequência é crescente

< 1 , significa exatamente o oposto: os termos dessa sequência vão cada vez mais diminuindo, ou seja, essa é uma sequência decrescente

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Vamos lá?

Passo 2

Letra (a)

A função f ( x ) é

f x = x 2 e - x

Para derivar é só aplicar a regra do produto:

f ' x = 2 x e - x + - 1 x 2 e - x = e - x ( 2 x - x 2 )

Prontinho! Essa é a derivada da função f ( x ) .

Passo 3

Agora vamos para letra (b).

Nosso termo geral é

a n = n 2 e - n = n 2 e n

E nosso termo posterior é:

a n + 1 = n + 1 2 e n + 1

Agora vou fazer a razão a n + 1 a n

a n + 1 a n = n + 1 2 e n + 1 n 2 e n = n + 1 2 e n + 1 . e n n 2

a n + 1 a n = n + 1 2 e n e . e n n 2 = n + 1 2 e n 2

E agora vamos calcular o limite dessa razão quando n → ∞ (e aqui valem todas as regras de limites que você aprendeu lá em cálculo 1 ok?)

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 e n 2 = ∞ ∞

Como surgiu uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ , podemos aplicar a regra de L’hopital e derivar em cima e embaixo e avaliar novamente o limite, caso surja outra indeterminação, deriva de novo até levantar essa indeterminação!

Mas vamos derivar a primeira vez e torcer para que saia logo de cara essa indeterminação:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 ' e n 2 ' = lim n → ∞ ⁡ 2 ( n + 1 ) 2 e n = ∞ ∞

Poxa vida, vamos precisar derivar novamente!

Derivando outra vez:

lim n → ∞ ⁡ 2 ( n + 1 ) ' 2 e n ' = lim n → ∞ ⁡ 2 2 e = 1 e < 1

Opa! Deu certo! Conseguimos calcular esse limite e ele deu um valor menor do que 1! Isso significa que os termos dessa sequência vão diminuindo cada vez mais!

Então é correto afirmar que essa sequência é SIM decrescente!

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

a )   f ' x = e - x ( 2 x - x 2 )

b )   S i m

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Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? a n = - 2 n + 1
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 2 + - 1 n n
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 3 - 2 n e - n
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 1 - n 2 + n
Detemrine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico.A sequência é limitada? a n = cos ⁡ n