Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

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Enunciado

A soma dos primeiros 100 ímpares

Escolha uma opção:

  1. 10000
  2. 10010
  3. 501
  4. 500

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema nos pediu a soma dos primeiros 100 números ímpares.

Vamos analisar quais são esses números

O primeiro número ímpar que conhecemos é o 1 . O segundo número ímpar é o 3 , depois vem o 5 e assim por diante. Digamos que o número a n ocupa a n-ésima posição, então esses números ímpares seguem a seguinte ordem

a 1 = 1

a 2 = 3

a 3 = 5

a 4 = 7

E assim por diante. Certo?

Ali em cima temos 4 primeiros números e o problema perguntou qual é a soma dos 100 primeiros.

Encontrar os 100 ímpares e fazer a soma fica complicado demais, mas tem um jeito mais fácil, saca só. Note que o número que vem na frente é sempre 2 unidades maior que o anterior. O 3 é sempre duas unidades maior do que o 1 , o 5 é duas unidades a mais que o 3 , e etc.

Isto é, temos uma progressão aritmética de razão 2 e primeiro termo igual a 1 .

Então nosso problema passa a ser calcular a soma dos 100 primeiros termos de uma P.A. de razão 2 .

Passo 2

A soma de n termos de uma P.A. de razão r e primeiro termo a 1 é dado por:

S n = a 1 + a n n 2

O primeiro termo é a 1 = 1 e o último termo é o a 100 já que queremos os n = 100 primeiros termos.

Considerando que o número ocupe a posição n , e o primeiro número ocupe a primeira posição, o próximo número é:

a n = 2 n - 1

E esse é o termo geral dessa P.A. Agora podemos encontrar o último, o a 100 :

a 100 = 2.100 - 1 = 199  

Esse é o centésimo ímpar

Temos o a 100 = 199 e o a 1 = 1 , agora é só jogar na fórmula da soma de termos de uma P.A.

Passo 3

A fórmula da soma é:

S n = a 1 + a n n 2

Como n = 100 , a 100 = 199 e a 1 = 1 , é só substituir:

S 100 = 1 + 199 . 100 2 = 200.100 2 = 10000

Tranquilo?

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

( a )

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Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? a n = - 2 n + 1
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Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 3 - 2 n e - n
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 1 - n 2 + n
Detemrine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico.A sequência é limitada? a n = cos ⁡ n