Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

USP - Cálculo 4 - P1 2013 - 1b

Seja x n n 1 a sequência dada por:

x 1 = x 2 = 1 e 1 x n + 2 = 1 x n + 1 + 1 x n

Mostre que esta sequência é convergente, e determine o valor do termo da sequência quando n .

Passo 1

A gente tem que olhar as características dessa sequência para provar que ela é convergente.

Lembra aqui comigo: se uma sequência é sempre crescente ou sempre decrescente ela é chamada monótona. Vamos ver se a nossa sequência é monótona.

1 x n + 2 = 1 x n + 1 + 1 x n

1 x n + 2 = 1 x n + 1 + 1 x n > 1 x n + 1

1 x n + 2 > 1 x n + 1

Daí temos que:

x n + 2 < x n + 1

Assim, a sequência é sempre decrescente e portanto monótona.

Beleza, e aí tem um teorema não sei das quantas que diz que uma sequência monótona só é convergente se ela for limitada.

Beleza, então temos que provar que essa sequência é limitada.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Se a sequência é descrescente todo mundo vai ser menor que x 1 , concorda? E como x 1 = 1 , todo mundo vai ser menor que 1, então a sequência já é limitada superiormente.

x n 1

Agora temos que ver se ela é limitada inferiormente. Nós sabemos:

x 1 = x 2 = 1 e 1 x n + 2 = 1 x n + 1 + 1 x n

Como os termos são todos positivos, essa sequência vai ser sempre maior que zero. Então ela também é limitada inferiormente.

Passo 3

Show, agora vamos calcular o limite:

lim n x n ,   c o m :

1 x n + 2 = 1 x n + 1 + 1 x n

Vamos isolar x n + 2 :

1 x n + 2 = x n + x n + 1 x n + 1 x n

x n + 2 = x n + 1 x n x n + x n + 1

lim n x n = lim n x n + 2 = lim n x n + 1 x n x n + x n + 1

Beleza, agora manipulando um pouco:

lim n x n + 2 = lim n x n + 1 lim n x n + 1 lim n x n + lim n x n + 1

Chamando todos esses limites de L:

L = L 2 2 L

L 2 = 2 L 2

L = 0

Beleuza.

Resposta

A sequência é convergente porque é monótona (sempre decrescente) e limitada superior e inferiormente.

L = 0

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