Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

USP - Cálculo 4 - P1 2012 – 1a

Seja a n n = 1 a sequência dada por:

a n + 1 = 3 1 + a n 3 + a n

a 1 = 3

  1. Sabendo que, para todo n 1 , a n > 3 , mostre que a n n = 1 converge.
  2. Calcule

lim n a n

Passo 1

a1)

A gente tem que olhar as características dessa função para provar que ela é convergente, temos um valor inicial, que é o 3 .

Agora vamos ver se ela é convergente ou não, repara que essa sequência é limitada, se ela for decrescente ela converge, se ela for crescente ela diverge.

Vamos ver isso:

a n + 1 = 3 1 + a n 3 + a n

Vamos analisar:

a n + 1 a n = 3 1 + a n 3 + a n a n = 3 1 + a n 3 + a n a n

Queremos ver se esse cara é menor que 1 :

a n + 1 a n = 3 1 + a n 3 + a n a n < 1

3 1 + a n 3 + a n a n - 1 0

3 1 + a n - 3 + a n a n 3 + a n a n 0

3 + 3 a n - 3 a n - a n 2 3 + a n a n 0

3 - a n 2 3 + a n a n 0

Ele disse no enunciado que:

a n > 3

Isso diz que o numerador é negativo e o denominador é positivo, assim nas condições que ele deu vamos ter:

a n + 1 a n < 1

Assim, a sequência é decrescente. E Consequentemente ela é convergente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a2)

Pela teoria, como ela é convergente:

lim n a n = L

Fazendo o limite da relação temos:

a n + 1 = 3 1 + a n 3 + a n

lim n a n + 1 = lim n 3 1 + a n 3 + a n

lim n a n + 1 = 3 1 + lim n a n 3 + lim n a n

Assim temos:

lim n a n = lim n a n + 1 = L

E temos:

L = 3 1 + L 3 + L

L 3 + L = 3 + 3 L

3 L + L 2 = 3 + 3 L

L 2 = 3

Assim:

L = 3

Resposta

Converge para

L = 3

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