Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

USP - Cálculo 4 - P1 2014 - 1b

Verifique se existe lim n a n

a n = 1 n 3.6 . 9.12 3 n 1.4 . 7.10 ( 3 n - 2 )  

Passo 1

Bem bem, percebe que ele pede pra verificar se o limite existe, não necessariamente calcular ele.

A outra alternativa é ver se esse termo é decrescente e se ele é limitado inferiormente, isso garante que o limite existe.

Se for crescente e for limitado inferiormente o limite não vai existir.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para ver se é crescente ou decrescente vamos analisar:

a n + 1 a n

Vai ser:

1 n + 1 3.6 . 9.12 3 n . 3 n + 1 1.4 . 7.10 3 n - 2 3 n + 1 - 2 . n . 1.4 . 7.10 3 n - 2 3.6 . 9.12 3 n

1 n + 1 3.6 . 9.12 3 n . 3 n + 3 1.4 . 7.10 3 n - 2 3 n + 3 - 2 . n . 1.4 . 7.10 3 n - 2 3.6 . 9.12 3 n

1 n + 1 3.6 . 9.12 3 n . 3 n + 3 1.4 . 7.10 3 n - 2 3 n + 1 . n . 1.4 . 7.10 3 n - 2 3.6 . 9.12 3 n

Podemos cortar um monte de gente e isso vai ficar assim:

n n + 1 . 3 n + 3 ( 3 n + 1 ) = n n + 1 . 3 n + 1 ( 3 n + 1 ) = 3 n 3 n + 1

Então:

a n + 1 a n = 3 n 3 n + 1

Como o numerador é menor que o denominador temos

a n + 1 a n = 3 n 3 n + 1 < 1

E tchã! Graças ao paranauê, provamos que ela é decrescente.

Passo 3

Vamos ver agora como mostramos que ela tem um limite inferior, repara que temos um produto gigante, começando com 1 então essa multiplicação toda vai ser maior que 0

a n > 0

Como ela é limitada inferiormente e é decrescente ela converge.

Mas não foi isso que o enunciado perguntou, não é mesmo?

Ele perguntou se o limite existe. Não pediu pra calcular, só perguntou se existe! E como provamos que a série é monótona limitada, ela converge. E como ela converge, o limite existe.

Resposta

O limite existe.

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