Exercícios Resolvidos de Teorema Pi

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 341, ex. P5.25

A força de propulsão F de uma hélice geralmente é considerada uma função de seu diâmetro D e velocidade angular Ω , da velocidade V   de avanço, da massa específica ρ e da viscosidade μ do fluido. Reescreva essa relação como uma função adimensional.

Passo 1

Vamos montar nosso problema pessoal!

Traduzindo o enunciado queremos adimensionalizar a seguinte relação.

F = f ( D , Ω , V , ρ , μ )

Vamos então analisar as dimensões de cada uma das 6 variáveis para determinarmos quantos grupos Pi teremos:

F = M L T - 2

Ω = T - 1

V = L T - 1

D = L

μ = M L - 1 T - 1

ρ = M L - 3

Ω é unidade de rotação sobre tempo, porém “rotações” são consideradas adimensionais, logo é apenas unidade de inverso de tempo.

Como temos três dimensões, M L T e seis variáveis, temos pelo menos 6 - 3 = 3 grupos Pi.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos definir nossas variáveis repetivivas. Neste caso são três por haverem três dimensões.

Pessoalmente eu gosto de utilizar massa específica, velocidade e o diâmetro nesse caso. Mas é possível utilizar outras variáveis e ter grupos Pi diferentes. Normalmente o hélice tem essas três propriedades bem definidas e pouco mutáveis no projeto. Logo se aplicam em todos os efeitos que queremos ver. Enfim vamos montar o primeiro grupo:

V a D b ρ c F = M 0 L 0 T 0

L T - 1 a L b M L - 3 c M L T - 2 = M 0 L 0 T 0

M c + 1 L a + b - 3 c + 1 T - a - 2 = M 0 L 0 T 0

Montamos um sistema igualando os expoentes das dimensões correpsondentes:

c + 1 = 0 a + b - 3 c + 1 = 0 - a - 2 = 0

Da terceira equação:

a = - 2

Da primeira equação:

c = - 1

Substituindo na segunda:

- 2 + b - 3 - 1 + 1 = 0

b = - 2

Logo nosso primeiro adimensional é:

Π 1 = F V 2 ρ D 2

Refazendo o processo para a rotação Ω :

V a D b ρ c Ω = M 0 L 0 T 0

L T - 1 a L b M L - 3 c T - 1 = M 0 L 0 T 0

M c L a + b - 3 c T - a - 1 = M 0 L 0 T 0

Montamos nosso sisteminha:

c = 0 a + b - 3 c = 0 - a - 1 = 0

Da terceira equação:

a = - 1

Substituindo na segunda:

- 1 + b - 3 × 0 = 0

b = 1

Π 2 = Ω D V

E nosso último grupo pi, o da viscosidade:

V a D b ρ c μ = M 0 L 0 T 0

L T - 1 a L b M L - 3 c M L - 1 T - 1 = M 0 L 0 T 0

M c + 1 L a + b - 3 c - 1 T - a - 1 = M 0 L 0 T 0

c + 1 = 0 a + b - 3 c - 1 = 0 - a - 1 = 0

Primeira equação:

c = - 1

Terceira equação:

a = - 1

Substituindo na segunda:

- 1 + b - 3 - 1 - 1 = 0

b = - 1

Logo:

Π 3 = μ ρ V D

Resposta

F ρ V 2 D 2 = f Ω D V , μ ρ V D

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas