Exercícios Resolvidos de Teste de Hipóteses para Variância Populacional

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Enunciado

Numa determinada empresa, empregados que desempenham a mesma função têm salarios diferentes em função do tempo de casa e bonificações por desempenho. Segundo a empresa, o desvio-padrão para o salario de uma certa função é de R $   150,00 . Entrevistando 5 funcionários que desempenham essa mesma função, verificou-se que seus salários eram, respectivamente, R $   1.000 ;   R $   1.200 ;   R $   1.500 ;   R $   1300 ;   R $   900 .

Testar a afirmação da empresa com significância de 5%, supondo que os salários sejam normalmente distribuídos.

Passo 1

Queremos testar o valor de um desvio padrão populacional! Para isso, basta lembrarmos que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Então se elevarmos os valores de desvio padrão ao quadrado, podemos realizar esse teste normalmente como fazemos para a variância.

σ = 150

σ 2 = 150 2 = 22500

Então agora definimos as hipóteses:

H 0 :   σ 2 = 22500  

H 1 :   σ 2 ≠ 22500

Pois queremos testar se o desvio padrão é igual ao valor relatado pela empresa ou não.

Então estamos num teste bilateral!

Passo 2

Para continuar nossa questão, precisamos do valor da variância amostral s ² . E para calculá-la, precisamos do valor da média amostral. Então vamos lá:

x - = 1000 + 1200 + 1500 + 1300 + 900 5 = 1180

E daí calculamos a variância amostral:

s 2 = ∑ i = 1 n ( x i - x - ) ² n - 1

s 2 = 1000 - 1180 2 + 1200 - 1180 2 + 1500 - 1180 2 + 1300 - 1180 2 + ( 900 - 1180 ) ² 5 - 1

s 2 = 57000

Agora podemos calcular nossa estatística de teste para teste de hipótese da variância:

χ ² t e s t e = n - 1 s ² σ ²

χ ² t e s t e = 5 - 1 57000 22500 = 10,13

Passo 3

Agora calculamos nossa região crítica. Como o nível de significância é de 5 % , nossos pontos críticos vão ser dados por:

χ 1 - α 2 2 = χ 0,975 2

χ α 2 2 = χ 0,025 2

E vamos ter v = 5 - 1 = 4 graus de liberdade, então podemos procurar na tabela Qui Quadrado e achar o valor desses caras:

χ 0,975 ;     4 2 = 11,143

χ 0,025 ;     4 2 = 0,484  

E no teste bilateral nossa região de aceitação é tudo que está entre esses dois pontos, ou seja, nossa região crítica é tudo que for menor que 0,484 e tudo que for maior que 11,143 .

Como nossa estatística de teste deu 10,13 , ela cai fora da região crítica e dentro da região de aceitação!

E se caiu fora da RC, não podemos rejeitar a hipótese nula!

Resposta

Não rejeita-se H 0 .

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