Exercícios Resolvidos de Teste de Hipóteses para Variância Populacional

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Enunciado

Um fabricante de relógios deseja conhecer a variabilidade do seu produto. Para isso registrou os desvios de 20 relógios em segundos relativos a um relógio de alta precisão, ocorridos ao fim de um mês e obteve como resultado: média de 1,5 segundos e desvio padrão de 2,3 segundos.

Pede-se

a) Com base na longa experiência com os relógios desta marca, o fabricante acredita que o verdadeiro desvio padrão é no máximo 2 segundos. Ao nível de significância de 5 % , podemos afirmar que o fabricante está correto?

b) Determine se o fabricante pode afirmar que a verdadeira média é igual a 1,0 segundo ao nível de significância de 5 % .

Passo 1

Fala galerinha, bora fazer mais uma questão de PROBEST!!!

Nesse problema vamos ter que brincar um pouco com a ideia de teste de hipótese.

No item (a) o teste de hipótese será sobre a variância. Devemos lembrar que num teste de hipótese nós precisamos definir qual é a hipótese alternativa H a e qual é a hipótese nula H 0 . Nesse caso, o fabricante acredita que o desvio padrão é no máximo 2 segundos, portanto, a hipótese alternativa será:

H a :       σ ≤ 2

Com isso, a hipótese nula será

H 0 :       σ > 2

Portanto, podemos escrever:

H 0 :         σ 2 > 4 H a :           σ 2 ≤ 4

Passo 2

Bom, nós já definimos as hipóteses no item (a). Agora temos que lembrar que o nível de significância corresponde a probabilidade de um erro do tipo 1 , que denotamos pela letra α . Nesse caso, temos

α = 0,05

Esse número corresponde à probabilidade de rejeitarmos a hipótese H 0 quando ela é verdadeira.

Nesse caso, temos um teste unilateral à esquerda, pois a limitação da hipótese alternativa é σ 2 ≤ 4 . Por uma questão de notação, vou escrever σ 0 2 = 4 . Desta forma, temos

H 0 :         σ 2 > σ 0 2 H a :           σ 2 ≤ σ 0 2

Além disso, como queremos analisar a distribuição da variância, temos que lembrar que

x = n - 1   S 2 σ 2   ~   χ n - 1 2

A variável x segue uma distribuição do tipo qui-quadrado. Você lembrar que S 2 é a variância amostral:

S 2 = 2,3 2 = 5,29

σ 2 é a variância real. Nesse problema temos uma amostra com n = 20 , de modo que

x = 19 ⋅ 5,29 σ 2 = 100,51 σ 2   ~   χ 19 2

Passo 3

A seguir faço um esboço da distribuição de qui-quadrado:

Como o teste é unilateral à esquerda, a região crítica será determinada como a região pintada na figura, em que a probabilidade deve ser α = 0,05 . Vamos determinar x α que delimita essa região!

A variável x segue uma distribuição do tipo χ 19 2 , de modo que vamos precisar olhar na tabela da distribuição de qui-quadrado fornecida na prova. No cabeçalho da tabela temos:

Importante notar que os dados da tabela são do tipo P x > x c . Com isso, temos que

P x < x α = 0,05 → P x > x α = 1 - 0,05 = 0,95

Daí, olhamos na tabela para a linha com n - 1 = 19 graus de liberdade e na coluna com probabilidade 0,95 . Fazendo isso, achamos:

x α = 10,12

Agora, usando o valor referência σ 0 2 , nós calculamos x o b s :

x o b s = 100,51 σ 0 2 = 100,51 4 = 25,1275

A condição para rejeitarmos a hipótese nula no caso unilateral à esquerda é

x o b s < x α

Mas nesse caso isso não acontece pois claramente temos que x o b s é maior que x α . Portanto, a hipótese nula não pode ser rejeitada e o fabricante está errado!

Passo 4

No item (a) vimos que o fabricante estava errado em dizer que o desvio padrão máximo era de 2 segundos dentro de um nível de significância de 5 % . Agora vamos ao item (b), em que devemos descobrir se o fabricante pode dizer que a média é 1,0 dentro do nível de significância de 5 % .

Desta vez, nossas hipóteses serão:

H 0 :       μ = μ 0 = 1,0 H a :       μ ≠ μ 0 = 1,0

Trata-se de um típico teste bilateral. Além disso, como esse teste é sobre a média, vamos usar a distribuição de Student para a variável

T = X - - μ 0 S / n

Nesse problema, X - = 1,5 e S = 2,3 , de modo que

T = 1,5 - μ 0 2,3 / 20

Ou ainda,

T = 1,5 - μ 0 0,5143

Passo 5

Agora vamos olhar para a distribuição de Student no caso bilateral:

Como o teste é bilateral, a probabilidade α de estar fora da faixa central será dividida em duas metades, uma para cada lado. Temos, portanto,

P T > T α / 2 = α 2 = 0,05 2 = 0,025

No cabeçalho da tabela da distribuição de Student, temos

Vemos que o que é fornecido na tabela é exatamente o que nós queremos achar ( T α / 2 ). Indo na linha dos n - 1 = 19 graus de liberdade e na coluna 0,025 , achamos

Portanto,

T α / 2 = 2,093

Passo 6

O critério do teste é que devemos aceitar H 0 se

- T α / 2 < T o b s < T α / 2

Para calcular T o b s usamos μ 0 = 1,0 :

T o b s = 1,5 - μ 0 0,5143 = 0,9722

A condição do teste é satisfeita, de modo que a hipótese H 0 deve ser aceita. Como essa hipótese é que a média seja μ 0 = 1,0 , o fabricante pode afirmar, dentro da significância de 5 % , que a média é μ 0 = 1,0 .

Com isso nós terminamos o problema 😊.

Resposta

a) O fabricante está errado.

b) O fabricante estaria correto se afirmasse que a média é μ 0 = 1,0 dentro da significância de 5 % .

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