Exercícios Resolvidos de Teste de Hipóteses para Variância Populacional

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Enunciado

A performance nominal de uma ferramenta de corte é em média de 970 peças cortadas por vida útil com desvio padrão de 7 peças. Uma amostra de 5 destas ferramentas apresentaram performance em suas vidas úteis de: média = 1003 e variância = 145. Podemos dizer, para o nível de 5% de significância, que a média e a variância da performance nominal desta ferramenta aumentaram? Teste as hipóteses.

Defina claramente suas hipóteses. Mostre o resultado através do cálculo da estatística do teste. Esboce um gráfico da distribuição do teste indicando claramente a área de rejeição e aceitação de H 0 .

Passo 1

Última questão da última lista, galerinha! Que belezinha!?

Bom! Nesse exercício aqui, queremos testar se a média e a variância da vida útil das peças aumentaram ou continuam as mesmas.

Começando pela média, nossas hipóteses serão:

H 0 :   μ = 970   ( c o n t i n u o u   a   m e s m a )

H 1 :   μ > 970   ( a u m e n t o u )

Temos nosso desvio padrão populacional, então vamos fazer um teste de hipóteses unilateral superior clássico!

Passo 2

Começando calculando a estatística de teste:

Z t e s t e = X - - μ σ n = 1003 - 970 7 5 = 10,5415

Passo 3

Agora vamos calcular nosso z c r í t i c o . Lembrando que α = 0,05 :

z 1 - α = z 1 - 0,05 = z 0,95

Procurando na tabela da Normal abaixo...

Temos que:

z 0,95 = 1,64

Passo 4

Então, nosso gráfico fica:

Então nossa estatística de teste tá dentro da região crítica, ou seja, rejeitamos H 0 ! Temos evidências para dizer que a média dos desvios aumentou.

Passo 5

E agora vamos testar a variância. Montando as hipóteses, obtemos que:

H 0 :   σ ² = 7 ² = 49

H 1 :   σ ² > 145

Temos então um teste de hipóteses para variância unilateral superior!

Passo 6

Calculamos primeiro, nossa estatística de teste:

χ t e s t e 2 = n - 1 s 2 σ 2

Substituindo os valores:

χ t e s t e 2 = 5 - 1 145 7 2 = 11,8367

Passo 7

Agora vamos determinar nosso χ c r í t i c o 2 , que no unilateral superior é dado por:

χ 1 - α 2

Como α = 0,05 :

χ 1 - α 2 = χ 0,95 2

E lembrando que vamos ter grau de liberdade v = 5 - 1 = 4 , procuramos esse qui-quadrado na tabela, temos que:

χ 0,95 2 = 9,488

Passo 8

Nosso gráfico fica então:

E a estatística de teste caiu dentro da região crítica, então novamente rejeitamos H 0 ! Ou seja, podemos afirmar que a variância dos desvios aumentou.

Resposta

M é d i a   d o s   d e s v i o s   a u m e n t o u

V a r i â n c i a   d o s   d e s v i o s   a u m e n t o u

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