Exercícios Resolvidos de Teste de Hipóteses para Variância Populacional

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Enunciado

Um fabricante de baterias para automóveis afirma que a duração de suas baterias é em média de 3 anos, as quais tem uma distribuição normal com um desvio padrão igual a 0,9 anos.

  1. Um auditor pega uma amostra aleatória de 10 de tais baterias e obteve um desvio padrão de 1,2 anos. Deseja-se saber se existe diferença do desvio padrão ao nível de significância de 5 % ?

Defina claramente sua hipótese. Mostre o resultado através do cálculo da estatística do teste. Esboce um gráfico da distribuição do teste indicando claramente a área de rejeitação e aceitação de H 0 .

Passo 1

a)

Aqui queremos fazer um teste de hipótese para a variância, temos o valor do desvio padrão s = 1,2 e σ = 0,9 . Calculando as variâncias equivalentes:

s 2 = 1,2 2 = 1,44

σ 2 = 0,9 2 = 0,81

. Nossa hipótese nula vai concordar com a afirmação de que a variância é igual ao valor populacional:

H 0 :   σ = 0,81

E queremos verificar se esse valor na verdade é diferente, então nossa hipótese alternativa tem que testar isso:

H 1 :   σ ≠ 0,81

Estamos num teste bilateral.

Passo 2

Em um teste de hipótese para variância, usamos a distribuição Qui Quadrado para tomar decisões.

Vamos calcular primeiramente nossa estatística de teste para teste de hipótese da variância:

χ ² t e s t e = n - 1 s ² σ ²

Como n = 10 (pois temos 10 baterias na nossa amostra):

χ ² t e s t e = 10 - 1 1,44 0,81 = 16

Passo 3

Agora calculamos nossa região crítica. Como o nível de significância é de 5 % , nossos pontos críticos vão ser dados por:

χ α 2 2 = χ 0,025 2

χ 1 - α 2 2 = χ 0,97 5 2

E vamos ter v = 10 - 1 = 9 graus de liberdade, então podemos procurar nossos pontos na tabela Qui Quadrado e achar os pontos críticos:

χ 9 ;     0,025 2 = 19,02

χ 9 ;     0,97 5 2 = 2,70

Passo 4

Com esses pontos críticos e com a nossa estatística de teste, podemos observar pelo gráfico que ela cai fora da região crítica:

O que significa que nós não rejeitamos a hipótese nula!

Resposta

Não rejeita-se a hipótese nula.

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