Exercícios Resolvidos de Teste de Hipóteses para Variância Populacional

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Enunciado

Pesquisadores de uma clínica de emagrecimento desejam comparar a eficácia de uma dieta com exercícios contra uma dieta sem exercícios. Setenta e dois pacientes foram aleatoriamente selecionados e divididos em dois grupos. O primeiro grupo, com 31 pacientes, foi colocado no programa de dieta com exercícios. O segundo grupo, com 41 pacientes, foi colocado no programa de dieta sem exercícios. Os resultados com a perda de peso, em quilogramas, após 4 meses foram:

Grupo 1: média amostral de 8   k g e desvio padrão amostral de 1,5   k g .

Grupo 2: média amostral de 8,2   k g e desvio padrão amostral de 1,8   k g .

Pede-se:

a) Através do teste de hipótese para a média, determine com o nível de significância de 0,05 se existe diferença entre as médias do tratamento do grupo 1 ( μ 1 ) para o tratamento do grupo 2 ( μ 2 ).

b) Através do teste de hipótese para a variância, determine com o nível de significância de 0,05 se existe diferença entre as variâncias do tratamento do grupo 1 ( σ 1 2 ) para o tratamento do grupo 2 ( σ 2 2 ).

Passo 1

Antes de qualquer coisa, vamos calcular o desvio padrão da média de cada grupo:

σ = S n

Para o grupo 1:

σ 1 = 1,5 31 = 0,2694

Já para o grupo 2:

σ 2 = 1,8 41 = 0,2811

Esses serão os desvios padrão que usaremos nos testes de hipótese, por isso a primeira coisa que eu fiz foi calculá-los!

Passo 2

No item (a) queremos fazer um teste de hipótese para comparação das médias. O primeiro passo para isso é determinar as hipóteses. Queremos saber se as médias são iguais ou não e, para isso, nossas hipóteses devem ser:

H 0 :       μ 1 = μ 2 H a :       μ 1 ≠ μ 2

Trata-se de um teste bilateral! Se a hipótese H 0 for descartada, concluímos estatisticamente que as médias são diferentes.

Passo 3

Para fazer esse teste de comparação entre as médias, faremos um teste T de Student com a a variável:

T = X - - Y - - ( μ 1 - μ 2 ) σ 1 2 + σ 2 2

Essa variável segue uma distribuição de Student com ν graus de liberdade, onde

ν = σ 1 2 + σ 2 2 2 σ 1 4 n 1 - 1 + σ 2 4 n 2 - 1

Substituindo os valores:

ν = 0,2694 2 + 0,2811 2 2 0,2694 4 31 - 1 + 0,2811 4 41 - 1 = 69,3

Como precisamos de um valor inteiro, vou arredondar para

ν = 69

Aqui vai uma observação bem importante que muita gente não sabe: quando o número de graus de liberdade é grande (tipicamente bem acima de 30), podemos aproximar a distribuição de Student por uma distribuição normal. É isso que vamos fazer nesse problema!

Passo 4

Como o número de graus de liberdade é bem elevado, podemos dizer que a variável T segue uma distribuição normal com média 0 e desvio padrão 1 assim como a tradicional variável Z que usamos para esses problemas. Portanto, o esboço da região proibida pelo teste bilateral é dado a seguir:

Queremos achar o valor de T C tal que

P T > T C = 0 , 025 → P - ∞ < T < T C = 0,9 75

Daí, é só olhar na tabela da distribuição normal:

Vemos que

T C = 1 , 96

Passo 5

Agora você precisa lembrar que no teste bilateral, nós rejeitamos H 0 se

T < - T C         o u         T > T C

Isso significa que

X - - Y - - ( μ 1 - μ 2 ) σ 1 2 + σ 2 2 < - T C           o u         X - - Y - - ( μ 1 - μ 2 ) σ 1 2 + σ 2 2 > T C

Como estamos testando a hipótese μ 1 = μ 2 , temos que

X - - Y - σ 1 2 + σ 2 2 < - T C         o u         X - - Y - σ 1 2 + σ 2 2 > T C

Fazendo as contas: σ 1 2 + σ 2 2 = 0,2694 2 + 0,2811 2 = 0,38935 e σ 1 2 + σ 2 2   T C = 0,6405 . Portanto, para que H 0 seja rejeitada, devemos ter:

X - - Y - < - 0,6405           o u             X - - Y - > 06405

Se H 0 for rejeitada, podemos afirmar que a médias são diferentes dentro da significância considerada. Mas note que

X - - Y - = 8,0 - 8,2 = - 0,2

Vemos claramente que a condição para rejeição de H 0 não é satisfeita. Portanto, não podemos afirmar estatisticamente que as médias são diferentes.

Passo 6

Agora vamos olhar para o item (b)! Devemos fazer a mesma coisa que fizemos no item (a), mas agora o teste será sobre a variância!

As hipóteses são:

H 0 :         σ 1 = σ 2 H a :         σ 1 ≠ σ 2

Trata-se novamente de um teste bilateral! A grande diferença desse item para o que fizemos no item (a) é que para a variância não fazemos o teste T, e sim o teste F usando a distribuição de Snedecor!

Introduzimos a variável:

F = S 1 2 σ 2 2 S 2 2 σ 1 2

Lembrando que S 1 = 1,5 e S 2 = 1,8 são os desvios padrão amostrais. Essa variável F deve seguir uma distribuição de Snedecor com ν 1 = n 1 - 1 = 31 - 1 = 30 e ν 2 = 41 - 1 = 40 graus de liberdade.

Passo 7

Por se tratar de um teste bilateral, o esboço da região crítica é:

Para achar o F m a x , devemos ter

P F > F m a x = 0,025

Aí vamos para a tabela:

Achamos que

F m a x = 1,94

Agora temos que achar F m i n , mas antes de fazer isso vou fazer uma consideração...

Para que a hipótese H 0 seja considerada, devemos ter

F < F m i n       o u       F > F m a x

Portanto, se F m i n < F < F m a x , a hipótese H 0 não pode ser descartada e não podemos afirmar estatisticamente que a variâncias são distintas.

Pela figura da distribuição, é fácil perceber que F m i n deve ser um número bem pequeno. Usando S 1 = 1,5 e S 2 = 1,8 , temos que

F = 1,5 2 1,8 2 = 0,694

Com certeza F m i n será menor que 0,694 . Portanto, a condição para que H 0 seja rejeitada não é satisfeita, de modo que não podemos afirmar estatisticamente que as variâncias são diferentes.

PS: eu fiz essa análise qualitativa para o F m i n pois a prova não fornecia a tabela dessa situação.

Resposta

a) Não podemos afirmar estatisticamente que as médias são diferentes.

b) Não podemos afirmar estatisticamente que as variâncias são diferentes.

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