Exercícios Resolvidos de Teste de Hipóteses para Variância Populacional

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Enunciado

Um fabricante de relógios deseja conhecer a variabilidade do seu produto. Para isso registrou os desvios em segundos de 24 relógios, relativamente a um relógio de alta precisão ocorridos ao fim de um mês e obteve como resultado: média de 0,8 segundos e desvio padrão de 1,5 segundo.

Pede-se:

  1. Com base na longa experiência com os relógios desta marca o fabricante acredita que o verdadeiro desvio padrão é no máximo 1,2 segundos. Ao nível de significância de 1% e 5% podemos afirmar que o fabricante está correto?

Mostre claramente o seu desenvolvimento para o teste de hipótese determinando: as hipóteses nula e alternativa, a estatística do teste e a decisão acompanhada de um gráfico da função de probabilidade da estatística do teste, indicando claramente as áreas de rejeição e de aceitação de H 0 .

Passo 1

a)

As informações da nossa amostra são:

x - = 0,8

s = 1,5

E nossa amostra tem 24 relógios, então:

n = 24

Passo 2

Queremos testar o desvio padrão ser no máximo 1,2 segundos, então:

H 0 :   σ = 1,2

Sinal de igualdade sempre! Como é no máximo 1,2 segundos, qualquer valor menor que 1,2 segundos ainda conta. Então nossa alternativa tem que ser o contrário disso, ou seja, tem que ser maior que 1,2 segundos:

H 1 : σ > 1,2

Passo 3

Teste de hipótese para desvio padrão a gente vai usar a distribuição qui-quadrado!

Vamos começar pelo nível de significância de 1%, ou seja:

α = 0,01

Na curva da qui-quadrado, teríamos isso aqui:

α na ponta direita porque nossa hipótese alternativa tem o sinal de maior que! E como a área abaixo da curva tem que ser 1, achamos a área em branco fazendo 1 -   α .

Lembrando que a região de rejeição está em azul e a de aceitação está em branco!

Passo 4

Nosso χ c r í t i c o 2 vai ser então:

χ 0,99 2

Já que temos 0,99 à direita da curva, separando a região crítica da região de aceitação.

E como temos uma amostra de 24, nosso grau de liberdade será:

v = 23

Procurando esse qui-quadrado na tabela, temos:

χ c r í t i c o 2 = χ 0,99 2 = 41,638

Passo 5

A nossa estatística de teste vai ser:

χ ² = n - 1 s 2 σ 2

Substituindo os valores que temos (lembrando que a variância é o valor que estamos testando):

χ ² = 24 - 1 1,5 2 1,2 2 = 35,9375

Passo 6

Agora temos que ver se ela tá na área azul ou branca do gráfico:

Branca! Então não rejeitamos a hipótese nula.

Passo 7

Mas não acabou por aí hehe

Agora, vamos fazer tudo novamente, só que com o nível de significância de 5% e mantendo o mesmo grau de liberadade. Com isso,

α = 0,05 ; v = 23

Olhando na tabela, teremos:

χ c r í t i c o 2 = χ 0 , 95 2 = 35 , 172

Agora, vamos avaliar em qual região se encontra a nossa estatística de teste, χ 2 = 35,9375 .

E como estamos na região azul, para um nível de significância de 5%, deveremos rejeitar a hipótese nula.

Resposta

α = 1 %   →   N ã o   r e j e i t a m o s   H 0   e   a f i r m a m o s   q u e   o   f a b r i c a n t e   e s t á   c e r t o .

α = 5 %   → R e j e i t a m o s   H 0   e ,   p o r t a n t o ,   a f i r m a m o s   q u e   o   f a b r i c a n t e   n ã o   e s t á   c e r t o .

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