Exercícios Resolvidos de Tipos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Seja A ⊆ R 2 . Uma função z = f x , y ,   f : A → R , é limitada em um conjunto B ⊆ A quando existe um número real M > 0 tal que f x , y ≤ M , para todo x , y ∈ B . Determine quais as seguintes funções são ou não limitadas em A = R 2 \ { ( 0,0 ) } . Justifique

b x , y = x x 2 + y 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa função de duas variáveis

b x , y = x x 2 + y 2

E pediu para determinar se ela é limitada

Você lembra o que é uma função limitada?

Uma função limitada é quando sua imagem está contida em um intervalo, ou seja, a função não pode fugir e valer qualquer valor

Isso acontece com o seno e o cosseno! Não importa o ângulo, os valores retornados vão estar obrigatoriamente entre [ - 1,1 ]

Como não temos nenhuma dessas funções trigonométricas na nossa função, isso significa que ela não é limitada? NÃO!

Para verificar se ela é limitada vamos tentar estabelecer uma relação de desigualdade, relacionando numerador e denominador, e chegar a intervalos finitos nos extremos: teremos uma função limitada

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função é a seguinte

b x , y = x x 2 + y 2

Olhando para o numerador não podemos dizer que

x > 0

Pois temos que x pode ir de - ∞ ou + ∞ . Então não temos um limitador inferior. Para x > 1 temos que

0 < x < x 2 + y 2

Beleza?

Dividindo pelo denominador

0 < x x 2 + y 2 < 1

Mas isso não seria uma função limitada, pois vale apenas para x > 1 !

Passo 3

Sendo assim, não temos uma função limitada

E funciona se trocarmos x por y também.

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

n ã o   é   l i m i t a d a