Exercícios Resolvidos de Tipos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Seja A ⊆ R 2 . Uma função z = f x , y ,   f : A → R , é limitada em um conjunto B ⊆ A quando existe um número real M > 0 tal que f x , y ≤ M , para todo x , y ∈ B . Determine quais as seguintes funções são ou não limitadas em A = R 2 \ { ( 0,0 ) } . Justifique

c x , y = y x 2 + y 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa função de duas variáveis

c x , y = y x 2 + y 2

E pediu para determinar se ela é limitada

Você lembra o que é uma função limitada?

Uma função limitada é quando sua imagem está contida em um intervalo, ou seja, a função não pode fugir e valer qualquer valor

Isso acontece com o seno e o cosseno! Não importa o ângulo, os valores retornados vão estar obrigatoriamente entre [ - 1,1 ]

Como não temos nenhuma dessas funções trigonométricas na nossa função, isso significa que ela não é limitada? NÃO!

Para verificar se ela é limitada vamos tentar estabelecer uma relação de desigualdade, relacionando numerador e denominador, e chegar a intervalos finitos nos extremos: teremos uma função limitada

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função é a seguinte

c x , y = y x 2 + y 2

(lembrando que o teorema fala sobre o módulo da função f x , y )

Olhando para o numerador podemos dizer que

| y | > 0

Mas uma maneira de escrever o módulo é em função da raiz da variável ao quadrado, então

y = y 2 > 0

Certo? E analisando o denominador podemos dizer que

0 < y 2 < x 2 + y 2

Beleza?

Passo 3

Agora vamos dividir as três partes por x 2 + y 2

0 x 2 + y 2   < y 2 x 2 + y 2 < x 2 + y 2 x 2 + y 2

Podemos simplificar e assim ficamos

0 < y 2 x 2 + y 2 < 1

E sabemos que a função y 2 x 2 + y 2 é limitada, então nossa função c x , y = y x 2 + y 2 é também limitada!

Então temos sim uma função limitada!

Isso também vale para quando temos x 2 no numerador, ao invés de y 2 .

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

é   l i m i t a d a