Exercícios Resolvidos de Tipos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Seja A ⊆ R 2 . Uma função z = f x , y ,   f : A → R , é limitada em um conjunto B ⊆ A quando existe um número real M > 0 tal que f x , y ≤ M , para todo x , y ∈ B . Determine quais as seguintes funções são ou não limitadas em A = R 2 \ { ( 0,0 ) } . Justifique

e x , y = 1 x 2 + y 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa função de duas variáveis

e x , y = 1 x 2 + y 2

E pediu para determinar se ela é limitada

Você lembra o que é uma função limitada?

Uma função limitada é quando sua imagem está contida em um intervalo, ou seja, a função não pode fugir e valer qualquer valor

Isso acontece com o seno e o cosseno! Não importa o ângulo, os valores retornados vão estar obrigatoriamente entre [ - 1,1 ]

Como não temos nenhuma dessas funções trigonométricas na nossa função, isso significa que ela não é limitada? NÃO!

Para verificar se ela é limitada vamos tentar estabelecer uma relação de desigualdade, relacionando numerador e denominador, e chegar a intervalos finitos nos extremos: teremos uma função limitada

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A função que precisamos analisar é essa

1 x 2 + y 2

Para valores pequenos de x e y vemos que essa função explode! Olha só, para x = 0,0001   e   y = 0,0001

e = 1 10 - 4 2 + 10 - 4 2 = 1 2 × 10 - 8 = 5 × 10 7

Beleza?

Agora pensa para valores cada vez mais próximos de 0 , ela explore real! Então ela não é limitada!

Para valores grandes de x e y essa função tende à zero, então ela seria limitada inferiormente, mas para afirmar que uma função é limitada, a imagem dela precisa ser limitada a um intervalo fechado!

Passo 3

Assim nossa função

e x , y = 1 x 2 + y 2

Não é limitada

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

n ã o   é   l i m i t a d a