Exercícios Resolvidos de Tipos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Seja A ⊆ R 2 . Uma função z = f x , y ,   f : A → R , é limitada em um conjunto B ⊆ A quando existe um número real M > 0 tal que f x , y ≤ M , para todo x , y ∈ B . Determine quais as seguintes funções são ou não limitadas em A = R 2 \ { ( 0,0 ) } . Justifique

d x , y = x 2 x 2 + y 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa função de duas variáveis

d x , y = x 2 x 2 + y 2

E pediu para determinar se ela é limitada

Você lembra o que é uma função limitada?

Uma função limitada é quando sua imagem está contida em um intervalo, ou seja, a função não pode fugir e valer qualquer valor

Isso acontece com o seno e o cosseno! Não importa o ângulo, os valores retornados vão estar obrigatoriamente entre [ - 1,1 ]

Como não temos nenhuma dessas funções trigonométricas na nossa função, isso significa que ela não é limitada? NÃO!

Para verificar se ela é limitada vamos tentar estabelecer uma relação de desigualdade, relacionando numerador e denominador, e chegar a intervalos finitos nos extremos: teremos uma função limitada

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função é a seguinte

d x , y = x 2 x 2 + y 2

(lembrando que o teorema fala sobre o módulo da função f x , y )

Olhando para o numerador podemos dizer que

| x 2 | > 0

Mas uma maneira de escrever o módulo é em função da raiz da variável ao quadrado, então

x 2 = x x = x x 2 > 0

Beleza?

Passo 3

Agora vamos reescrever nossa função como um produto de duas

x 2 x 2 + y 2 = x x 2 x 2 + y 2

Mas sabemos que

x 2 x 2 + y 2

É limitada, mas | x | só é limitada inferiormente, sendo x > 0 .

E o produto de uma função limitada por uma não limitada é uma função não limitada

Então não temos uma função limitada!

Isso também vale para quando temos y 2 no numerador, ao invés de x 2 .

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

n ã o   é   l i m i t a d a