Exercícios Resolvidos de Vetor Tangente – Paralelismo e Ortogonalidade

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Enunciado

Considere a curva C parametrizada pelas equações x = t 3 + 3 t 2 + 2 t e y = 3 - 2 t - t 2 , com - 3 ≤ t ≤ 1 . Em que ponto o vetor tangente a C é horizontal?

a) 0,4

b) 0,3

c) - 6,0   e   0,6

d) Nenhum ponto

e) Nenhuma das alternativas

Passo 1

Vamos começar encontrando o vetor tangente a curva C . Temos:

C ' t = x ' t , y ' t ,   - 3 ≤ t ≤ 1  

C ' t = 3 t 2 + 6 t + 2 , - 2 - 2 t ,   - 3 ≤ t ≤ 1  

Passo 2

Repare que para esse vetor ser horizontal, ele tem de apontar na direção do eixo x , ou seja, deve ser paralelo ao vetor 1,0 . Vai ficar:

3 t 2 + 6 t + 2 , - 2 - 2 t = λ 1,0

Igualando a segunda componente a zero, temos:

- 2 - 2 t = 0

t = - 1

Perceba que o valor satisfaz - 3 ≤ t ≤ 1

Passo 3

Substituindo t = - 1 na equação da curva C , para encontrar o ponto onde isso ocorre, temos:

C t = t 3 + 3 t 2 + 2 t , 3 - 2 t - t 2

C - 1 = - 1 + 3 - 2 , 3 + 2 - 1

C - 1 = 0,4

Logo, o ponto é 0,4 .

Resposta

a) 0,4