Exercícios Resolvidos de Vetor Tangente – Paralelismo e Ortogonalidade

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Enunciado

Seja r um número real positivo. Considere uma função derivável F   :   I   →   R n

tal que ∥ F ( t ) ∥   =   r para todo   t   ∈   I . Prove que

< F ( t ) , d F ( t ) d t >   =   0 .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 2!!! Queremos mostrar que < F ( t ) , d F ( t ) d t >   =   0 .

Sabendo que F   :   I   →   R n tal que ∥ F ( t ) ∥   =   r para todo   t   ∈   I e F é derivável

Passo 2

Bem, primeiro vamos relembrar que a derivada de uma função vetorial dá o vetor tangente da função.

Agora, note que a nossa função F é tal que F   :   I   →   R n tal que ∥ F ( t ) ∥   =   r . Ou seja, A imagem dessa função são vetores de R n de tamanho r . Isto é, são os pontos da bola de raio r em R n .

Ora, mas se F ( t ) é um ponto da bola de raio r em R n , então F ( t ) será ortogonal a qualquer plano ou vetor tangente a bola. Logo como a derivada de uma função vetorial dá o vetor tangente da função.

< F ( t ) , d F ( t ) d t >   =   0 .

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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